1. Dây võng là một bài toán cân bằng hình học
Dây xích hoặc cáp mềm chịu trọng lượng có thể đổi hình dạng rất nhiều dù vật liệu chỉ giãn ít. Dạng dây võng catenary mô tả sự cân bằng giữa trọng lượng phân bố và lực căng tiếp tuyến. Tài liệu TU Delft dẫn xuất mô hình không giãn, không có lực ngang phân bố từ một phần tử dây; thành phần lực ngang không đổi còn thành phần đứng tăng theo trọng lượng đoạn dây. [1]
Bài này dùng cấu hình kiểm tra hai đầu cùng cao độ, dây treo tự do trong một mặt phẳng đứng. Cấu hình đối xứng giúp tính riêng được độ võng, chiều dài và lực để kiểm bảng tính. Một tuyến neo từ đáy biển lên fairlead thường không đối xứng và có thể chạm đáy; khi đó không được giữ nguyên điều kiện biên của ví dụ này.
Giả thiết dây hoàn toàn mềm theo uốn, không giãn dọc trục, trọng lượng trong nước w không đổi trên mỗi mét chiều dài dây, không có dòng hoặc tải động. w tính bằng kN/m, đã trừ lực nổi. Orcina phân biệt trọng lượng hiệu dụng, lực ngang và độ cứng dọc trục trong phương trình catenary tổng quát. [2]
2. Từ phần tử nhỏ đến phương trình
Đặt gốc tại điểm thấp nhất, x nằm ngang, z hướng lên. Gọi H là lực căng ngang kN, V là thành phần đứng tại mặt cắt, s là chiều dài cung đo từ điểm thấp nhất. Cân bằng và hình học cho:
V = ws
dz/dx = V/H
ds/dx = √[1 + (dz/dx)²]
Đặt a = H/w, đơn vị m. Tích phân với z = 0 và độ dốc bằng không tại x = 0 thu được:
z = a[cosh(x/a) − 1]
s = a sinh(x/a)
T = H cosh(x/a)
T là độ lớn lực căng, không phải riêng thành phần ngang. Các hàm hyperbolic có thể tính qua exp: cosh u = (eᵘ + e⁻ᵘ)/2 và sinh u = (eᵘ − e⁻ᵘ)/2. Đối số x/a phải không thứ nguyên. Nên phân biệt ký hiệu T của lực căng với chu kỳ sóng trong những bảng tính ghép nhiều bài toán.
Với khoảng ngang hai đầu B, tọa độ đầu bên phải x = B/2. Độ võng f đo từ cao độ hai đầu xuống điểm thấp nhất; tổng chiều dài dây L là hai lần chiều dài cung nửa phải:
f = a[cosh(B/2a) − 1]
L = 2a sinh(B/2a)
3. Ví dụ giả định và kiểm cân bằng
Cho B = 120 m, w = 0,8 kN/m và H = 80 kN. Đây là số liệu giả định, không đại diện một cỡ xích thương mại. Ta có a = 100 m, B/(2a) = 0,6. Kết quả f = 18,5465 m và L = 127,3307 m. Chiều dài lớn hơn khoảng ngang 7,3307 m; phần chênh này do hình học, không phải độ giãn đàn hồi.
Tại mỗi đầu, |V| = H sinh(0,6) = 50,9323 kN; T = H cosh(0,6) = 94,8372 kN. Tổng phản lực đứng hai đầu bằng 101,8646 kN, đúng bằng wL. Hai thành phần ngang có cùng độ lớn 80 kN và ngược chiều nên tổng bằng không.
Ở điểm thấp nhất, V = 0 nhưng T = H = 80 kN. Không thể nói dây “không chịu lực” tại đáy đường cong vì độ dốc bằng không. Ngược lại, dùng lực đầu 94,8372 kN thay H trong a = H/w sẽ làm thay đổi hình dạng và phá vỡ các điều kiện đã cho.
Giả sử hai đầu ở cao độ 40 m trên một mặt đáy ngang. Điểm thấp nhất ở cao độ 21,4535 m nên hình treo tự do chưa va vào đáy. Nếu hai đầu chỉ ở cao độ 15 m, cùng nghiệm sẽ đi xuống −3,5465 m; điều đó báo điều kiện treo tự do không còn hợp lệ. Không được giữ đường cong xuyên đáy rồi chỉ sửa hình vẽ cho đẹp.
4. So với gần đúng parabol
Khi |x/a| nhỏ, cosh(x/a) − 1 gần bằng (x/a)²/2. Từ đó suy ra gần đúng độ võng:
f parabol ≈ wB²/(8H)
Trong ví dụ, f parabol = 18,0000 m, thấp hơn catenary 2,9468%. Đây là sai lệch tại bộ số đã chọn, không phải giới hạn sai số phổ quát cho mọi dây. Khi trọng lượng được cho trên chiều dài thực của dây, catenary là mô hình tương ứng; parabol xuất hiện như gần đúng độ dốc nhỏ hoặc khi bài toán phân bố tải theo hình chiếu ngang có giả thiết khác.
Giữ B và w, tăng H lên 100 kN cho a = 125 m, f = 14,6786 m và L = 124,6614 m. Dây càng được kéo thẳng thì chênh giữa chiều dài cung và khoảng ngang càng giảm. Nhưng đây là một họ cấu hình có chiều dài khác nhau. Không thể dùng các kết quả đó để mô tả một sợi không giãn có chiều dài cố định mà không thay điều kiện khác.
5. Thay trọng lượng: phải nói điều gì được giữ
Trường hợp A giữ B = 120 m và L = 127,3307 m, vẫn giả thiết không giãn. Hình học xác định a = 100 m. Nếu w tăng 25% lên 1,0 kN/m, H phải tăng thành 100 kN; T đầu thành 118,5465 kN, còn f vẫn bằng 18,5465 m. Cấu hình hình học không đổi vì cả hai đầu và chiều dài đều bị ràng buộc.
Trường hợp B giữ B = 120 m và H = 80 kN khi w tăng lên 1,0 kN/m. Lúc này a = 80 m, f = 23,5747 m và chiều dài cần thiết L = 131,5707 m. Kết quả không phải dự báo rằng sợi cũ tự có thêm 4,24 m. Nó mô tả một cấu hình khác cần chiều dài lớn hơn, hoặc cần cơ chế cấp thêm dây nếu dùng trong thao tác thực.
Hai trường hợp cho kết luận khác nhau vì điều kiện biên khác nhau. Khi khảo sát sinh vật bám, thay đoạn xích hoặc thay độ sâu, cần nêu rõ vị trí đầu, chiều dài không tải, lực đặt và độ cứng nào đang được giữ. Một biểu đồ lực–độ võng thiếu các ràng buộc này dễ bị diễn giải sai.
6. Bài toán ngược và ảnh hưởng độ giãn
Giả sử yêu cầu hình học f = 12 m tại B = 120 m. Giải phương trình a[cosh(60/a) − 1] = 12 bằng lặp số cho a = 151,9589 m. Với w = 0,8 kN/m, H = 121,5671 kN và L = 123,1424 m. Thay a lại vào cả hai phương trình là cách kiểm nghiệm, thay vì chỉ nhận một giá trị H từ bộ giải.
Nếu sợi có độ cứng dọc EA hữu hạn, chiều dài hình học phụ thuộc cả biến dạng. Ansys Aqwa trình bày riêng mô hình đoạn catenary có đàn hồi dọc trục, với chiều dài chưa giãn và chiều dài sau giãn. [3] Khi áp dụng mô hình đó, không nên vừa dùng L đã kéo dài đo ở tải làm chiều dài chưa giãn, vừa cộng thêm độ giãn một lần nữa.
Mô hình hiện tại cũng chưa có tải dòng ngang, ma sát đáy, đoạn nổi, clump weight hay chuyển động đầu dây theo thời gian. Lực đầu tính được là lực cân bằng tĩnh, không phải tải đỉnh động hoặc sức chịu tải cho phép. Giá trị thực tế cần gắn với cấu tạo dây, kết nối và mô hình tuyến neo đầy đủ.
7. Các kiểm tra có giá trị nhất
Với bài toán đối xứng, kiểm L lớn hơn B, tổng lực đứng bằng wL, lực ngang không đổi dọc phần treo, và T² = H² + V² tại mỗi điểm. Với điều kiện hình học cho trước, chỉ giải các ẩn còn lại, tránh ấn định quá nhiều giá trị độc lập. Những kiểm tra này giúp phân biệt sai công thức với một bộ điều kiện biên vốn không thể cùng thỏa mãn.
Nguồn tham khảo
[1] Floating and Submerged Structures — Single Segment Line, simplified derivation — O. Colomés, F. Lange, S. Agarwal and G. Oude Vrielink, TU Delft. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] OrcaFlex Help — Line theory: Analytic catenary — Orcina. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] Aqwa Theory Manual 2026 R1 — Catenary Segment with Influence of Axial Linear Elasticity — Ansys. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
Dây xích hoặc cáp mềm chịu trọng lượng có thể đổi hình dạng rất nhiều dù vật liệu chỉ giãn ít. Dạng dây võng catenary mô tả sự cân bằng giữa trọng lượng phân bố và lực căng tiếp tuyến. Tài liệu TU Delft dẫn xuất mô hình không giãn, không có lực ngang phân bố từ một phần tử dây; thành phần lực ngang không đổi còn thành phần đứng tăng theo trọng lượng đoạn dây. [1]
Bài này dùng cấu hình kiểm tra hai đầu cùng cao độ, dây treo tự do trong một mặt phẳng đứng. Cấu hình đối xứng giúp tính riêng được độ võng, chiều dài và lực để kiểm bảng tính. Một tuyến neo từ đáy biển lên fairlead thường không đối xứng và có thể chạm đáy; khi đó không được giữ nguyên điều kiện biên của ví dụ này.
Giả thiết dây hoàn toàn mềm theo uốn, không giãn dọc trục, trọng lượng trong nước w không đổi trên mỗi mét chiều dài dây, không có dòng hoặc tải động. w tính bằng kN/m, đã trừ lực nổi. Orcina phân biệt trọng lượng hiệu dụng, lực ngang và độ cứng dọc trục trong phương trình catenary tổng quát. [2]
2. Từ phần tử nhỏ đến phương trình
Đặt gốc tại điểm thấp nhất, x nằm ngang, z hướng lên. Gọi H là lực căng ngang kN, V là thành phần đứng tại mặt cắt, s là chiều dài cung đo từ điểm thấp nhất. Cân bằng và hình học cho:
V = ws
dz/dx = V/H
ds/dx = √[1 + (dz/dx)²]
Đặt a = H/w, đơn vị m. Tích phân với z = 0 và độ dốc bằng không tại x = 0 thu được:
z = a[cosh(x/a) − 1]
s = a sinh(x/a)
T = H cosh(x/a)
T là độ lớn lực căng, không phải riêng thành phần ngang. Các hàm hyperbolic có thể tính qua exp: cosh u = (eᵘ + e⁻ᵘ)/2 và sinh u = (eᵘ − e⁻ᵘ)/2. Đối số x/a phải không thứ nguyên. Nên phân biệt ký hiệu T của lực căng với chu kỳ sóng trong những bảng tính ghép nhiều bài toán.
Với khoảng ngang hai đầu B, tọa độ đầu bên phải x = B/2. Độ võng f đo từ cao độ hai đầu xuống điểm thấp nhất; tổng chiều dài dây L là hai lần chiều dài cung nửa phải:
f = a[cosh(B/2a) − 1]
L = 2a sinh(B/2a)
3. Ví dụ giả định và kiểm cân bằng
Cho B = 120 m, w = 0,8 kN/m và H = 80 kN. Đây là số liệu giả định, không đại diện một cỡ xích thương mại. Ta có a = 100 m, B/(2a) = 0,6. Kết quả f = 18,5465 m và L = 127,3307 m. Chiều dài lớn hơn khoảng ngang 7,3307 m; phần chênh này do hình học, không phải độ giãn đàn hồi.
Tại mỗi đầu, |V| = H sinh(0,6) = 50,9323 kN; T = H cosh(0,6) = 94,8372 kN. Tổng phản lực đứng hai đầu bằng 101,8646 kN, đúng bằng wL. Hai thành phần ngang có cùng độ lớn 80 kN và ngược chiều nên tổng bằng không.
Ở điểm thấp nhất, V = 0 nhưng T = H = 80 kN. Không thể nói dây “không chịu lực” tại đáy đường cong vì độ dốc bằng không. Ngược lại, dùng lực đầu 94,8372 kN thay H trong a = H/w sẽ làm thay đổi hình dạng và phá vỡ các điều kiện đã cho.
Giả sử hai đầu ở cao độ 40 m trên một mặt đáy ngang. Điểm thấp nhất ở cao độ 21,4535 m nên hình treo tự do chưa va vào đáy. Nếu hai đầu chỉ ở cao độ 15 m, cùng nghiệm sẽ đi xuống −3,5465 m; điều đó báo điều kiện treo tự do không còn hợp lệ. Không được giữ đường cong xuyên đáy rồi chỉ sửa hình vẽ cho đẹp.
4. So với gần đúng parabol
Khi |x/a| nhỏ, cosh(x/a) − 1 gần bằng (x/a)²/2. Từ đó suy ra gần đúng độ võng:
f parabol ≈ wB²/(8H)
Trong ví dụ, f parabol = 18,0000 m, thấp hơn catenary 2,9468%. Đây là sai lệch tại bộ số đã chọn, không phải giới hạn sai số phổ quát cho mọi dây. Khi trọng lượng được cho trên chiều dài thực của dây, catenary là mô hình tương ứng; parabol xuất hiện như gần đúng độ dốc nhỏ hoặc khi bài toán phân bố tải theo hình chiếu ngang có giả thiết khác.
Giữ B và w, tăng H lên 100 kN cho a = 125 m, f = 14,6786 m và L = 124,6614 m. Dây càng được kéo thẳng thì chênh giữa chiều dài cung và khoảng ngang càng giảm. Nhưng đây là một họ cấu hình có chiều dài khác nhau. Không thể dùng các kết quả đó để mô tả một sợi không giãn có chiều dài cố định mà không thay điều kiện khác.
5. Thay trọng lượng: phải nói điều gì được giữ
Trường hợp A giữ B = 120 m và L = 127,3307 m, vẫn giả thiết không giãn. Hình học xác định a = 100 m. Nếu w tăng 25% lên 1,0 kN/m, H phải tăng thành 100 kN; T đầu thành 118,5465 kN, còn f vẫn bằng 18,5465 m. Cấu hình hình học không đổi vì cả hai đầu và chiều dài đều bị ràng buộc.
Trường hợp B giữ B = 120 m và H = 80 kN khi w tăng lên 1,0 kN/m. Lúc này a = 80 m, f = 23,5747 m và chiều dài cần thiết L = 131,5707 m. Kết quả không phải dự báo rằng sợi cũ tự có thêm 4,24 m. Nó mô tả một cấu hình khác cần chiều dài lớn hơn, hoặc cần cơ chế cấp thêm dây nếu dùng trong thao tác thực.
Hai trường hợp cho kết luận khác nhau vì điều kiện biên khác nhau. Khi khảo sát sinh vật bám, thay đoạn xích hoặc thay độ sâu, cần nêu rõ vị trí đầu, chiều dài không tải, lực đặt và độ cứng nào đang được giữ. Một biểu đồ lực–độ võng thiếu các ràng buộc này dễ bị diễn giải sai.
6. Bài toán ngược và ảnh hưởng độ giãn
Giả sử yêu cầu hình học f = 12 m tại B = 120 m. Giải phương trình a[cosh(60/a) − 1] = 12 bằng lặp số cho a = 151,9589 m. Với w = 0,8 kN/m, H = 121,5671 kN và L = 123,1424 m. Thay a lại vào cả hai phương trình là cách kiểm nghiệm, thay vì chỉ nhận một giá trị H từ bộ giải.
Nếu sợi có độ cứng dọc EA hữu hạn, chiều dài hình học phụ thuộc cả biến dạng. Ansys Aqwa trình bày riêng mô hình đoạn catenary có đàn hồi dọc trục, với chiều dài chưa giãn và chiều dài sau giãn. [3] Khi áp dụng mô hình đó, không nên vừa dùng L đã kéo dài đo ở tải làm chiều dài chưa giãn, vừa cộng thêm độ giãn một lần nữa.
Mô hình hiện tại cũng chưa có tải dòng ngang, ma sát đáy, đoạn nổi, clump weight hay chuyển động đầu dây theo thời gian. Lực đầu tính được là lực cân bằng tĩnh, không phải tải đỉnh động hoặc sức chịu tải cho phép. Giá trị thực tế cần gắn với cấu tạo dây, kết nối và mô hình tuyến neo đầy đủ.
7. Các kiểm tra có giá trị nhất
Với bài toán đối xứng, kiểm L lớn hơn B, tổng lực đứng bằng wL, lực ngang không đổi dọc phần treo, và T² = H² + V² tại mỗi điểm. Với điều kiện hình học cho trước, chỉ giải các ẩn còn lại, tránh ấn định quá nhiều giá trị độc lập. Những kiểm tra này giúp phân biệt sai công thức với một bộ điều kiện biên vốn không thể cùng thỏa mãn.
Nguồn tham khảo
[1] Floating and Submerged Structures — Single Segment Line, simplified derivation — O. Colomés, F. Lange, S. Agarwal and G. Oude Vrielink, TU Delft. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] OrcaFlex Help — Line theory: Analytic catenary — Orcina. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] Aqwa Theory Manual 2026 R1 — Catenary Segment with Influence of Axial Linear Elasticity — Ansys. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
