1. Độ bay hơi tương đối là tỷ số của hai tỷ số
Gọi x_i là phần mol cấu tử i trong pha lỏng và y_i là phần mol trong pha hơi đang cân bằng với pha lỏng đó. Hệ số phân bố K_i được định nghĩa bằng y_i/x_i. Độ bay hơi tương đối của A so với B là α_AB = K_A/K_B, nên α không có đơn vị.
Tài liệu của University of Edinburgh nêu định nghĩa này và quan hệ α_AB = P_A*/P_B* cho hệ lý tưởng tại cùng nhiệt độ. Việc dùng α gần như không đổi chỉ là xấp xỉ trong một miền điều kiện thích hợp.[1] Vì vậy, một con số α cần đi cùng cặp cấu tử, điều kiện và mô hình tính chất; nó không phải hằng số riêng của một chất.
Bài xét hỗn hợp nhị phân giả định, không phản ứng. Những giá trị α, lưu lượng và áp suất dùng dưới đây được tự chọn để phân tích toán học, không đại diện một cặp hydrocarbon thực đã được kiểm chứng.
2. Suy ra đường cân bằng từ định nghĩa
Đặt x = x_A, y = y_A. Vì chỉ có hai cấu tử, x_B = 1 − x và y_B = 1 − y. Từ định nghĩa:
α = [y/(1 − y)]/[x/(1 − x)]
y(1 − x) = αx(1 − y)
y = αx/[1 + (α − 1)x]
x = y/[α − (α − 1)y]
Mẫu số của công thức y là 1 + (α − 1)x. Có thể kiểm dấu bằng x = 1: kết quả phải bằng y = 1. Một lỗi đánh máy đổi dấu cộng thành dấu trừ có thể cho y lớn hơn 1 và làm mất điều kiện vật lý.
Quan hệ trên là đường cân bằng của mô hình α không đổi. Nó chưa nói hơi và lỏng có lưu lượng bằng nhau, chưa cho biết số mâm của cột và chưa xác định lượng nhiệt phải cấp. Những câu hỏi đó cần các phương trình cân bằng riêng.
3. Ví dụ một cặp pha cân bằng
Chọn α = 2,4 và x = 0,35. Khi đó y = 0,84/1,49 = 0,563758. Pha hơi chứa 56,3758% mol A, còn pha lỏng chứa 35% mol A. Khoảng chênh y − x là 0,213758, tương đương 21,3758 điểm phần trăm.
Tỷ số y/x bằng 1,610738, không bằng 2,4. α so sánh hai tỷ số phân bố K_A và K_B; nó không phải mức nhân trực tiếp của phần mol A. Tính K_A = 1,610738 và K_B = (1 − y)/(1 − x) = 0,671141; chia hai giá trị mới cho 2,4.
Nếu đảo cặp tham chiếu và xét B so với A, α_BA = 1/2,4 = 0,416667. Pha hơi nghèo B hơn pha lỏng, đúng với cùng kết quả. Không được tự đổi α thành số lớn hơn 1 mà vẫn giữ x, y là phần mol của cấu tử B.
4. Tăng α làm gì trong mô hình này?
Giữ x = 0,35, thay α bằng 1,05; 1,5 và 4 cho y lần lượt bằng 0,361179; 0,446809 và 0,682927. Khi α tiến về 1, y tiến về x và khả năng làm giàu của một tiếp xúc cân bằng giảm.
Với 0 < x < 1 và α dương, đạo hàm theo α là:
∂y/∂α = x(1 − x)/[1 + (α − 1)x]²
Tại điểm cơ sở, đạo hàm bằng 0,102473. Thay đổi nhỏ Δα = 0,1 dự báo Δy xấp xỉ 0,010247. Đây là khai triển tuyến tính cục bộ, không phải quy tắc cộng cố định cho mọi giá trị α.
Đạo hàm theo x là α/[1 + (α − 1)x]² = 1,081032 tại cùng điểm. Sai khác nhỏ Δx = 0,005 làm y thay đổi xấp xỉ 0,005405 nếu α giữ nguyên. Nếu x và α cùng được suy từ một bộ dữ liệu thí nghiệm, cần xét quan hệ giữa chúng thay vì mặc định hai sai số độc lập.
5. Khoảng chênh hơi–lỏng lớn nhất không luôn ở x = 0,5
Đặt d(x) = y(x) − x với α > 1 không đổi. Cực trị trong khoảng 0 đến 1 thỏa dy/dx = 1. Giải phương trình và thay vào d cho:
x_tại_max = 1/(1 + √α)
d_max = (√α − 1)/(√α + 1)
Với α = 2,4, x_tại_max = 0,392281 và d_max = 0,215438. Tại hai đầu x = 0 hoặc x = 1, khoảng chênh bằng không vì hỗn hợp đã trở thành cấu tử tinh khiết.
Kết quả này giúp kiểm một bảng cân bằng hoặc đồ thị tự lập. Nó không chọn được thành phần cấp liệu tối ưu cho nhà máy, vì hiệu suất toàn cột còn phụ thuộc mục tiêu sản phẩm, dòng hồi lưu, năng lượng và giới hạn thiết bị. Cực đại hình học của một đường y–x chỉ trả lời đúng câu hỏi đã đặt cho đường đó.
6. Thành phần cân bằng và lượng hai pha là hai bài toán liên kết
Ghi chú giảng dạy về quy tắc đòn bẩy của California State University, East Bay phân biệt thành phần của mỗi pha với lượng tương đối của pha hơi và pha lỏng.[2] Có thể tự suy quan hệ lượng pha trực tiếp từ bảo toàn mol.
Gọi F là tổng dòng cấp, z là phần mol A trong dòng cấp, β = V/F là phần mol tổng dòng chuyển sang hơi. Khi không có tích lũy hoặc phản ứng, L = F(1 − β) và:
z = (1 − β)x + βy
β = (z − x)/(y − x), nếu y khác x
Chọn F = 100 kmol/h, z = 0,40 và giả định β = 0,40. Kết hợp cân bằng với đường α = 2,4 rồi giải cho x = 0,316079 và y = 0,525881. Lỏng 60 kmol/h mang 18,964741 kmol A/h; hơi 40 kmol/h mang 21,035259 kmol A/h. Tổng đúng 40 kmol A/h của dòng cấp.
Không được lấy x = z = 0,40 để tính y rồi vẫn giữ β = 0,40: cách đó bỏ qua việc pha lỏng đã mất một phần cấu tử dễ bay hơi. Để thực hiện β đã giả định trong thiết bị thật còn cần điều kiện pha, cân bằng năng lượng và dữ liệu tính chất thích hợp.
7. Áp suất không biến mất khỏi thiết kế thực
Trong một ví dụ lý tưởng riêng tại một nhiệt độ đã chọn, giả định áp suất hơi bão hòa P_A* = 240 kPa và P_B* = 100 kPa. Với x = 0,35, áp suất điểm sôi là P = xP_A* + (1 − x)P_B* = 149 kPa. Phần mol hơi A là xP_A*/P = 0,563758, khớp phép tính α = 2,4.
Việc P triệt tiêu trong tỷ số P_A*/P_B* ở cùng nhiệt độ không có nghĩa áp suất cột không ảnh hưởng phân tách. Khi áp suất vận hành thay đổi, nhiệt độ cân bằng và các tính chất liên quan cũng có thể thay đổi. Nếu giữ nguyên nhiệt độ và thành phần lỏng nhưng đặt áp suất khác 149 kPa, bộ điều kiện không còn đúng điểm sôi đã tính.
Ở điều kiện không lý tưởng, quan hệ phân bố cần mô hình thích hợp cho cả hai pha. Bài không ngoại suy bộ áp suất hơi giả định thành dữ liệu cho khí áp suất cao hoặc hệ có tương tác mạnh.
8. Nhận diện giới hạn và chuẩn bị dữ liệu
LearnChemE giải thích rằng tại azeotrope, thành phần hơi và lỏng trùng nhau; sai lệch khỏi định luật Raoult có thể tạo hành vi mà một đường α không đổi đơn giản không mô tả được.[3] Một α gần 1 ở một điểm chỉ cho biết độ làm giàu cục bộ thấp, chưa mô tả toàn miền thành phần.
Trước khi dùng đường cân bằng, cần kiểm tổng phần mol của từng pha, cơ sở mẫu, nhiệt độ, áp suất và việc hai mẫu có thực sự thuộc cùng trạng thái cân bằng. Dữ liệu lấy ở hai thời điểm hoặc hai vị trí không tương ứng không tạo thành một cặp x–y đáng tin cậy.
Trong bảng tính, nên lưu cả x, y, K_A, K_B, α và sai số đóng tổng. Sau đó đối chiếu vài điểm độc lập, đặc biệt gần miền sản phẩm tinh khiết. Một mô hình đi đúng qua một điểm vẫn có thể sai ở phần còn lại của đường; việc kiểm miền áp dụng quan trọng hơn việc hiển thị quá nhiều chữ số thập phân.
Nguồn tham khảo
[1] Section3.7.1.1: Note on Relative Volatility — University of Edinburgh, course material. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Chem351 Help — The Lever Rule — California State University, East Bay, P.Fleming course notes. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] Vapor-Liquid Equilibrium for Non-Ideal Solutions: Summary — John L.Falconer, University of Colorado Boulder, LearnChemE. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
Gọi x_i là phần mol cấu tử i trong pha lỏng và y_i là phần mol trong pha hơi đang cân bằng với pha lỏng đó. Hệ số phân bố K_i được định nghĩa bằng y_i/x_i. Độ bay hơi tương đối của A so với B là α_AB = K_A/K_B, nên α không có đơn vị.
Tài liệu của University of Edinburgh nêu định nghĩa này và quan hệ α_AB = P_A*/P_B* cho hệ lý tưởng tại cùng nhiệt độ. Việc dùng α gần như không đổi chỉ là xấp xỉ trong một miền điều kiện thích hợp.[1] Vì vậy, một con số α cần đi cùng cặp cấu tử, điều kiện và mô hình tính chất; nó không phải hằng số riêng của một chất.
Bài xét hỗn hợp nhị phân giả định, không phản ứng. Những giá trị α, lưu lượng và áp suất dùng dưới đây được tự chọn để phân tích toán học, không đại diện một cặp hydrocarbon thực đã được kiểm chứng.
2. Suy ra đường cân bằng từ định nghĩa
Đặt x = x_A, y = y_A. Vì chỉ có hai cấu tử, x_B = 1 − x và y_B = 1 − y. Từ định nghĩa:
α = [y/(1 − y)]/[x/(1 − x)]
y(1 − x) = αx(1 − y)
y = αx/[1 + (α − 1)x]
x = y/[α − (α − 1)y]
Mẫu số của công thức y là 1 + (α − 1)x. Có thể kiểm dấu bằng x = 1: kết quả phải bằng y = 1. Một lỗi đánh máy đổi dấu cộng thành dấu trừ có thể cho y lớn hơn 1 và làm mất điều kiện vật lý.
Quan hệ trên là đường cân bằng của mô hình α không đổi. Nó chưa nói hơi và lỏng có lưu lượng bằng nhau, chưa cho biết số mâm của cột và chưa xác định lượng nhiệt phải cấp. Những câu hỏi đó cần các phương trình cân bằng riêng.
3. Ví dụ một cặp pha cân bằng
Chọn α = 2,4 và x = 0,35. Khi đó y = 0,84/1,49 = 0,563758. Pha hơi chứa 56,3758% mol A, còn pha lỏng chứa 35% mol A. Khoảng chênh y − x là 0,213758, tương đương 21,3758 điểm phần trăm.
Tỷ số y/x bằng 1,610738, không bằng 2,4. α so sánh hai tỷ số phân bố K_A và K_B; nó không phải mức nhân trực tiếp của phần mol A. Tính K_A = 1,610738 và K_B = (1 − y)/(1 − x) = 0,671141; chia hai giá trị mới cho 2,4.
Nếu đảo cặp tham chiếu và xét B so với A, α_BA = 1/2,4 = 0,416667. Pha hơi nghèo B hơn pha lỏng, đúng với cùng kết quả. Không được tự đổi α thành số lớn hơn 1 mà vẫn giữ x, y là phần mol của cấu tử B.
4. Tăng α làm gì trong mô hình này?
Giữ x = 0,35, thay α bằng 1,05; 1,5 và 4 cho y lần lượt bằng 0,361179; 0,446809 và 0,682927. Khi α tiến về 1, y tiến về x và khả năng làm giàu của một tiếp xúc cân bằng giảm.
Với 0 < x < 1 và α dương, đạo hàm theo α là:
∂y/∂α = x(1 − x)/[1 + (α − 1)x]²
Tại điểm cơ sở, đạo hàm bằng 0,102473. Thay đổi nhỏ Δα = 0,1 dự báo Δy xấp xỉ 0,010247. Đây là khai triển tuyến tính cục bộ, không phải quy tắc cộng cố định cho mọi giá trị α.
Đạo hàm theo x là α/[1 + (α − 1)x]² = 1,081032 tại cùng điểm. Sai khác nhỏ Δx = 0,005 làm y thay đổi xấp xỉ 0,005405 nếu α giữ nguyên. Nếu x và α cùng được suy từ một bộ dữ liệu thí nghiệm, cần xét quan hệ giữa chúng thay vì mặc định hai sai số độc lập.
5. Khoảng chênh hơi–lỏng lớn nhất không luôn ở x = 0,5
Đặt d(x) = y(x) − x với α > 1 không đổi. Cực trị trong khoảng 0 đến 1 thỏa dy/dx = 1. Giải phương trình và thay vào d cho:
x_tại_max = 1/(1 + √α)
d_max = (√α − 1)/(√α + 1)
Với α = 2,4, x_tại_max = 0,392281 và d_max = 0,215438. Tại hai đầu x = 0 hoặc x = 1, khoảng chênh bằng không vì hỗn hợp đã trở thành cấu tử tinh khiết.
Kết quả này giúp kiểm một bảng cân bằng hoặc đồ thị tự lập. Nó không chọn được thành phần cấp liệu tối ưu cho nhà máy, vì hiệu suất toàn cột còn phụ thuộc mục tiêu sản phẩm, dòng hồi lưu, năng lượng và giới hạn thiết bị. Cực đại hình học của một đường y–x chỉ trả lời đúng câu hỏi đã đặt cho đường đó.
6. Thành phần cân bằng và lượng hai pha là hai bài toán liên kết
Ghi chú giảng dạy về quy tắc đòn bẩy của California State University, East Bay phân biệt thành phần của mỗi pha với lượng tương đối của pha hơi và pha lỏng.[2] Có thể tự suy quan hệ lượng pha trực tiếp từ bảo toàn mol.
Gọi F là tổng dòng cấp, z là phần mol A trong dòng cấp, β = V/F là phần mol tổng dòng chuyển sang hơi. Khi không có tích lũy hoặc phản ứng, L = F(1 − β) và:
z = (1 − β)x + βy
β = (z − x)/(y − x), nếu y khác x
Chọn F = 100 kmol/h, z = 0,40 và giả định β = 0,40. Kết hợp cân bằng với đường α = 2,4 rồi giải cho x = 0,316079 và y = 0,525881. Lỏng 60 kmol/h mang 18,964741 kmol A/h; hơi 40 kmol/h mang 21,035259 kmol A/h. Tổng đúng 40 kmol A/h của dòng cấp.
Không được lấy x = z = 0,40 để tính y rồi vẫn giữ β = 0,40: cách đó bỏ qua việc pha lỏng đã mất một phần cấu tử dễ bay hơi. Để thực hiện β đã giả định trong thiết bị thật còn cần điều kiện pha, cân bằng năng lượng và dữ liệu tính chất thích hợp.
7. Áp suất không biến mất khỏi thiết kế thực
Trong một ví dụ lý tưởng riêng tại một nhiệt độ đã chọn, giả định áp suất hơi bão hòa P_A* = 240 kPa và P_B* = 100 kPa. Với x = 0,35, áp suất điểm sôi là P = xP_A* + (1 − x)P_B* = 149 kPa. Phần mol hơi A là xP_A*/P = 0,563758, khớp phép tính α = 2,4.
Việc P triệt tiêu trong tỷ số P_A*/P_B* ở cùng nhiệt độ không có nghĩa áp suất cột không ảnh hưởng phân tách. Khi áp suất vận hành thay đổi, nhiệt độ cân bằng và các tính chất liên quan cũng có thể thay đổi. Nếu giữ nguyên nhiệt độ và thành phần lỏng nhưng đặt áp suất khác 149 kPa, bộ điều kiện không còn đúng điểm sôi đã tính.
Ở điều kiện không lý tưởng, quan hệ phân bố cần mô hình thích hợp cho cả hai pha. Bài không ngoại suy bộ áp suất hơi giả định thành dữ liệu cho khí áp suất cao hoặc hệ có tương tác mạnh.
8. Nhận diện giới hạn và chuẩn bị dữ liệu
LearnChemE giải thích rằng tại azeotrope, thành phần hơi và lỏng trùng nhau; sai lệch khỏi định luật Raoult có thể tạo hành vi mà một đường α không đổi đơn giản không mô tả được.[3] Một α gần 1 ở một điểm chỉ cho biết độ làm giàu cục bộ thấp, chưa mô tả toàn miền thành phần.
Trước khi dùng đường cân bằng, cần kiểm tổng phần mol của từng pha, cơ sở mẫu, nhiệt độ, áp suất và việc hai mẫu có thực sự thuộc cùng trạng thái cân bằng. Dữ liệu lấy ở hai thời điểm hoặc hai vị trí không tương ứng không tạo thành một cặp x–y đáng tin cậy.
Trong bảng tính, nên lưu cả x, y, K_A, K_B, α và sai số đóng tổng. Sau đó đối chiếu vài điểm độc lập, đặc biệt gần miền sản phẩm tinh khiết. Một mô hình đi đúng qua một điểm vẫn có thể sai ở phần còn lại của đường; việc kiểm miền áp dụng quan trọng hơn việc hiển thị quá nhiều chữ số thập phân.
Nguồn tham khảo
[1] Section3.7.1.1: Note on Relative Volatility — University of Edinburgh, course material. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Chem351 Help — The Lever Rule — California State University, East Bay, P.Fleming course notes. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] Vapor-Liquid Equilibrium for Non-Ideal Solutions: Summary — John L.Falconer, University of Colorado Boulder, LearnChemE. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
