1. Độ cứng là độ dốc tại một trạng thái
Độ cứng neo tiếp tuyến mô tả mức thay đổi lực khi đầu dây dịch chuyển một lượng nhỏ quanh cấu hình đang xét. Nó không phải lực căng chia khoảng cách từ gốc tọa độ, cũng không nhất thiết bằng EA/L của một thanh thẳng. MoorPy cung cấp cả cách sai phân bằng nhiễu chuyển vị và cách tính giải tích từ phương trình catenary để xây dựng độ cứng. [1]
Với một tọa độ ngang X, gọi H(X) là độ lớn lực kéo cần thiết để giữ dây ở cấu hình đó. Quanh trạng thái X₀:
H(X₀ + ΔX) ≈ H₀ + KtΔX
Kt = dH/dX tại X₀
Nếu xét lực dây tác dụng lên vật nổi, thành phần khôi phục có dấu ngược với chuyển vị; khi ấy đạo hàm lực thường là −Kt. Cần phân biệt dấu của lực vật lý với cách định nghĩa ma trận độ cứng dương. Phép tuyến tính hóa còn phải ghi các tọa độ khác được giữ cố định hay được phép điều chỉnh.
2. Mô hình giả định có đoạn nằm đáy
Cho dây không giãn, trọng lượng trong nước w = 1 kN/m, chiều dài L = 400 m, fairlead cao h = 50 m so với đáy ngang. Bỏ ma sát, tải dòng, độ cứng uốn và quán tính dây. Đầu neo cố định; khảo sát chuyển động ngang với h giữ nguyên. Đặt a = H/w, chiều dài treo s và khoảng ngang phần treo x:
s = √(h² + 2ah)
u = arcosh(1 + h/a)
x = au
X = L − s + au
Các biểu thức là giới hạn không giãn của hình dây võng. Tài liệu Ansys mô tả catenary đàn hồi với chiều dài chưa giãn và chiều dài đã giãn; trong ví dụ này ta chủ ý bỏ phần biến dạng dọc để tách riêng độ cứng hình học. [2] Khi dùng một tuyến thật có EA hữu hạn, phải giữ phần đàn hồi trong phương trình tương thích.
Ở H₀ = 100 kN, a = 100 m, s = 111,8034 m và u = 0,96242365. Khoảng ngang X₀ = 384,438966 m; còn 288,1966 m dây nằm đáy. Vì phần nằm đáy dương, cấu hình đang xét phù hợp với nhánh công thức này.
3. Lấy đạo hàm theo lực ngang
Do h cố định, ds/da = h/s. Từ u = arcosh(1 + h/a), ta có du/da = −h/(as). Lấy đạo hàm X = L − s + au:
dX/da = u − 2h/s
dX/dH = (u − 2h/s)/w
Kt = w/(u − 2h/s)
Thay bộ số trên, u − 2h/s = 0,06799646, nên Kt = 14,706648 kN/m. Đây là độ cứng ngang khi giữ cao độ fairlead, không phải độ cứng dọc vật liệu. Nó xuất hiện dù dây được giả định không giãn: dịch chuyển làm thay đổi hình dạng và nhấc thêm dây khỏi đáy.
Nếu lấy H₀/X₀, kết quả chỉ 0,260119 kN/m. Đại lượng đó còn thay đổi nếu chọn lại gốc tọa độ X, trong khi đạo hàm vật lý không đổi. Ngay cả một độ cứng dây cung giữa hai trạng thái hợp lệ cũng chỉ đại diện trung bình trên khoảng đó, không tự bằng tiếp tuyến tại đầu hoặc giữa khoảng.
4. Kiểm bằng sai phân và độ cứng dây cung
Có thể nhiễu H rồi tính X theo công thức chính xác. Sai phân trung tâm cho độ mềm dX/dH, sau đó lấy nghịch đảo:
Kt ≈ 2δH/[X(H₀ + δH) − X(H₀ − δH)]
Với δH = 0,1 kN, nhận Kt ≈ 14,706641 kN/m; δH = 1 kN cho 14,705939; δH = 10 kN cho 14,635620. Bước quá lớn làm trung bình qua vùng cong của đặc tính. Bước quá nhỏ trong một mô hình số có dung sai hội tụ hữu hạn có thể bị nhiễu số chi phối, nên cần kiểm sự ổn định của kết quả trên một dải bước hợp lý.
Từ H = 80 tới 100 kN, X tăng từ 382,869087 tới 384,438966 m; độ cứng dây cung là 12,739833 kN/m. Từ H = 100 tới 120 kN, X tăng tới 385,642748 m; độ cứng dây cung là 16,614306 kN/m. Hai độ dốc khác nhau cho thấy không thể chọn một số duy nhất để mô tả toàn bộ đặc tính phi tuyến.
5. Sai lệch khi dùng tiếp tuyến quá xa
Dịch fairlead ra thêm ΔX = 0,1 m. Giải ngược phương trình catenary cho H = 101,485013 kN; tuyến tính hóa cho 101,470665 kN. Sai lệch tuyệt đối nhỏ, nhưng đã có thể kiểm được bằng tính lại hình dạng.
Khi ΔX = 1 m, nghiệm phi tuyến là 116,261530 kN, trong khi tiếp tuyến cho 114,706648 kN. Sai lệch bằng −9,56% nếu chuẩn hóa theo phần tăng lực thực 16,261530 kN. Ở ΔX = 5 m, lực thực tăng tới 234,178939 kN, còn tiếp tuyến chỉ dự báo 173,533241 kN. Nếu chuẩn hóa theo tổng lực thay vì phần tăng lực, tỷ lệ sai số sẽ khác; báo cáo phải nói rõ mẫu số đang dùng.
Dịch vào 1 m cho nghiệm 86,603174 kN, trong khi tiếp tuyến cho 85,293352. Sai lệch hai phía không đối xứng vì độ cứng tăng khi dây được kéo căng hơn. Bài toán tìm cân bằng dưới một tải ngoài hữu hạn nên cập nhật trạng thái và độ cứng trong quá trình lặp, thay vì dùng duy nhất Kt ban đầu.
6. Khóa cao độ và thả cao độ là hai bài toán
Xét một ma trận minh họa riêng, không lấy từ dây vừa tính. Các gia số lực ngoài cần thiết và chuyển vị x, z liên hệ qua:
ΔPx = 20Δx + 6Δz
ΔPz = 6Δx + 8Δz
Các hệ số có đơn vị kN/m, chuyển vị m. Nếu khóa z, độ cứng ngang bằng 20 kN/m; tải ngang 40 kN tạo Δx = 2 m, đồng thời cần phản lực đứng 12 kN để giữ Δz = 0.
Nếu thả z và không thêm gia số tải đứng, phương trình thứ hai cho Δz = −6Δx/8. Thay vào phương trình đầu:
K ngang hiệu dụng = 20 − 6²/8 = 15,5 kN/m
Khi đó Δx = 2,580645 m, Δz = −1,935484 m. Sự khác nhau không phải lỗi bộ giải; điều kiện ràng buộc đã thay đổi. MoorPy phân biệt ma trận toàn hệ với ma trận của các bậc tự do ghép sau khi cho những bậc tự do khác cân bằng. [1] Đối với vật nổi, độ cứng thủy tĩnh đứng còn phải được đưa vào nếu có, thay vì coi fairlead tự do đứng mà không chịu lực hồi phục nào khác.
7. Giới hạn của đường đặc tính và bảng nội suy
Khi kéo đủ xa để s = L, mô hình có đoạn đặt đáy phải chuyển nhánh. Với L = 400 m, h = 50 m và w = 1 kN/m, ngưỡng H là 1.575 kN, X khoảng 395,8202 m. Tiếp tục kéo bằng cùng công thức sẽ tạo chiều dài đặt đáy âm. Đạo hàm đúng của một nhánh không hợp lệ vẫn là kết quả không hợp lệ.
Orcina tính lực catenary giải tích bằng các cấu hình trên lưới vị trí fairlead và nội suy; tài liệu cảnh báo khi phải ngoại suy ra ngoài lưới nghiệm. [3] Khi lấy độ cứng từ một bảng lực, bước lưới và vùng áp dụng phải đủ để thấy thay đổi độ dốc. Các đỉnh lực động, cản và trạng thái ma sát có lịch sử không được thay thế chỉ bằng Kt. Báo cáo độ cứng nên kèm vị trí cân bằng, lực ban đầu, các bậc tự do bị khóa và khoảng chuyển vị đã kiểm phi tuyến.
Nguồn tham khảo
[1] MoorPy Usage — System Equilibrium and Stiffness Matrices — MoorPy developers, National Renewable Energy Laboratory. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Aqwa Theory Manual 2026 R1 — Catenary Segment with Influence of Axial Linear Elasticity — Ansys. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] OrcaFlex Help — Lines: Analytic catenary, Calculation — Orcina. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
Độ cứng neo tiếp tuyến mô tả mức thay đổi lực khi đầu dây dịch chuyển một lượng nhỏ quanh cấu hình đang xét. Nó không phải lực căng chia khoảng cách từ gốc tọa độ, cũng không nhất thiết bằng EA/L của một thanh thẳng. MoorPy cung cấp cả cách sai phân bằng nhiễu chuyển vị và cách tính giải tích từ phương trình catenary để xây dựng độ cứng. [1]
Với một tọa độ ngang X, gọi H(X) là độ lớn lực kéo cần thiết để giữ dây ở cấu hình đó. Quanh trạng thái X₀:
H(X₀ + ΔX) ≈ H₀ + KtΔX
Kt = dH/dX tại X₀
Nếu xét lực dây tác dụng lên vật nổi, thành phần khôi phục có dấu ngược với chuyển vị; khi ấy đạo hàm lực thường là −Kt. Cần phân biệt dấu của lực vật lý với cách định nghĩa ma trận độ cứng dương. Phép tuyến tính hóa còn phải ghi các tọa độ khác được giữ cố định hay được phép điều chỉnh.
2. Mô hình giả định có đoạn nằm đáy
Cho dây không giãn, trọng lượng trong nước w = 1 kN/m, chiều dài L = 400 m, fairlead cao h = 50 m so với đáy ngang. Bỏ ma sát, tải dòng, độ cứng uốn và quán tính dây. Đầu neo cố định; khảo sát chuyển động ngang với h giữ nguyên. Đặt a = H/w, chiều dài treo s và khoảng ngang phần treo x:
s = √(h² + 2ah)
u = arcosh(1 + h/a)
x = au
X = L − s + au
Các biểu thức là giới hạn không giãn của hình dây võng. Tài liệu Ansys mô tả catenary đàn hồi với chiều dài chưa giãn và chiều dài đã giãn; trong ví dụ này ta chủ ý bỏ phần biến dạng dọc để tách riêng độ cứng hình học. [2] Khi dùng một tuyến thật có EA hữu hạn, phải giữ phần đàn hồi trong phương trình tương thích.
Ở H₀ = 100 kN, a = 100 m, s = 111,8034 m và u = 0,96242365. Khoảng ngang X₀ = 384,438966 m; còn 288,1966 m dây nằm đáy. Vì phần nằm đáy dương, cấu hình đang xét phù hợp với nhánh công thức này.
3. Lấy đạo hàm theo lực ngang
Do h cố định, ds/da = h/s. Từ u = arcosh(1 + h/a), ta có du/da = −h/(as). Lấy đạo hàm X = L − s + au:
dX/da = u − 2h/s
dX/dH = (u − 2h/s)/w
Kt = w/(u − 2h/s)
Thay bộ số trên, u − 2h/s = 0,06799646, nên Kt = 14,706648 kN/m. Đây là độ cứng ngang khi giữ cao độ fairlead, không phải độ cứng dọc vật liệu. Nó xuất hiện dù dây được giả định không giãn: dịch chuyển làm thay đổi hình dạng và nhấc thêm dây khỏi đáy.
Nếu lấy H₀/X₀, kết quả chỉ 0,260119 kN/m. Đại lượng đó còn thay đổi nếu chọn lại gốc tọa độ X, trong khi đạo hàm vật lý không đổi. Ngay cả một độ cứng dây cung giữa hai trạng thái hợp lệ cũng chỉ đại diện trung bình trên khoảng đó, không tự bằng tiếp tuyến tại đầu hoặc giữa khoảng.
4. Kiểm bằng sai phân và độ cứng dây cung
Có thể nhiễu H rồi tính X theo công thức chính xác. Sai phân trung tâm cho độ mềm dX/dH, sau đó lấy nghịch đảo:
Kt ≈ 2δH/[X(H₀ + δH) − X(H₀ − δH)]
Với δH = 0,1 kN, nhận Kt ≈ 14,706641 kN/m; δH = 1 kN cho 14,705939; δH = 10 kN cho 14,635620. Bước quá lớn làm trung bình qua vùng cong của đặc tính. Bước quá nhỏ trong một mô hình số có dung sai hội tụ hữu hạn có thể bị nhiễu số chi phối, nên cần kiểm sự ổn định của kết quả trên một dải bước hợp lý.
Từ H = 80 tới 100 kN, X tăng từ 382,869087 tới 384,438966 m; độ cứng dây cung là 12,739833 kN/m. Từ H = 100 tới 120 kN, X tăng tới 385,642748 m; độ cứng dây cung là 16,614306 kN/m. Hai độ dốc khác nhau cho thấy không thể chọn một số duy nhất để mô tả toàn bộ đặc tính phi tuyến.
5. Sai lệch khi dùng tiếp tuyến quá xa
Dịch fairlead ra thêm ΔX = 0,1 m. Giải ngược phương trình catenary cho H = 101,485013 kN; tuyến tính hóa cho 101,470665 kN. Sai lệch tuyệt đối nhỏ, nhưng đã có thể kiểm được bằng tính lại hình dạng.
Khi ΔX = 1 m, nghiệm phi tuyến là 116,261530 kN, trong khi tiếp tuyến cho 114,706648 kN. Sai lệch bằng −9,56% nếu chuẩn hóa theo phần tăng lực thực 16,261530 kN. Ở ΔX = 5 m, lực thực tăng tới 234,178939 kN, còn tiếp tuyến chỉ dự báo 173,533241 kN. Nếu chuẩn hóa theo tổng lực thay vì phần tăng lực, tỷ lệ sai số sẽ khác; báo cáo phải nói rõ mẫu số đang dùng.
Dịch vào 1 m cho nghiệm 86,603174 kN, trong khi tiếp tuyến cho 85,293352. Sai lệch hai phía không đối xứng vì độ cứng tăng khi dây được kéo căng hơn. Bài toán tìm cân bằng dưới một tải ngoài hữu hạn nên cập nhật trạng thái và độ cứng trong quá trình lặp, thay vì dùng duy nhất Kt ban đầu.
6. Khóa cao độ và thả cao độ là hai bài toán
Xét một ma trận minh họa riêng, không lấy từ dây vừa tính. Các gia số lực ngoài cần thiết và chuyển vị x, z liên hệ qua:
ΔPx = 20Δx + 6Δz
ΔPz = 6Δx + 8Δz
Các hệ số có đơn vị kN/m, chuyển vị m. Nếu khóa z, độ cứng ngang bằng 20 kN/m; tải ngang 40 kN tạo Δx = 2 m, đồng thời cần phản lực đứng 12 kN để giữ Δz = 0.
Nếu thả z và không thêm gia số tải đứng, phương trình thứ hai cho Δz = −6Δx/8. Thay vào phương trình đầu:
K ngang hiệu dụng = 20 − 6²/8 = 15,5 kN/m
Khi đó Δx = 2,580645 m, Δz = −1,935484 m. Sự khác nhau không phải lỗi bộ giải; điều kiện ràng buộc đã thay đổi. MoorPy phân biệt ma trận toàn hệ với ma trận của các bậc tự do ghép sau khi cho những bậc tự do khác cân bằng. [1] Đối với vật nổi, độ cứng thủy tĩnh đứng còn phải được đưa vào nếu có, thay vì coi fairlead tự do đứng mà không chịu lực hồi phục nào khác.
7. Giới hạn của đường đặc tính và bảng nội suy
Khi kéo đủ xa để s = L, mô hình có đoạn đặt đáy phải chuyển nhánh. Với L = 400 m, h = 50 m và w = 1 kN/m, ngưỡng H là 1.575 kN, X khoảng 395,8202 m. Tiếp tục kéo bằng cùng công thức sẽ tạo chiều dài đặt đáy âm. Đạo hàm đúng của một nhánh không hợp lệ vẫn là kết quả không hợp lệ.
Orcina tính lực catenary giải tích bằng các cấu hình trên lưới vị trí fairlead và nội suy; tài liệu cảnh báo khi phải ngoại suy ra ngoài lưới nghiệm. [3] Khi lấy độ cứng từ một bảng lực, bước lưới và vùng áp dụng phải đủ để thấy thay đổi độ dốc. Các đỉnh lực động, cản và trạng thái ma sát có lịch sử không được thay thế chỉ bằng Kt. Báo cáo độ cứng nên kèm vị trí cân bằng, lực ban đầu, các bậc tự do bị khóa và khoảng chuyển vị đã kiểm phi tuyến.
Nguồn tham khảo
[1] MoorPy Usage — System Equilibrium and Stiffness Matrices — MoorPy developers, National Renewable Energy Laboratory. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Aqwa Theory Manual 2026 R1 — Catenary Segment with Influence of Axial Linear Elasticity — Ansys. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] OrcaFlex Help — Lines: Analytic catenary, Calculation — Orcina. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
