Mức 25% không đồng nghĩa chứa 25% dung tích
Một bình nằm ngang được điền mức từ đáy lên đỉnh. Mỗi milimét tăng mức không thêm cùng một thể tích: sát đáy lát chất lỏng hẹp, ở giữa bình lát rộng nhất, rồi lại hẹp gần đỉnh. Vì vậy đường chuyển từ mức sang dung tích phải phản ánh hình học, trước khi dùng tín hiệu để tính tồn kho hoặc thời gian dự phòng.
MathWorld trình bày diện tích phân đoạn tròn bằng phần quạt trừ tam giác và chỉ rõ ứng dụng vào lượng lỏng trong hình trụ ngang. [1] Dưới đây ta dựng lại công thức bằng lát cắt và dùng số liệu giả định; không coi kích thước danh nghĩa của bình là bảng dung tích đã hiệu chuẩn.
Lát cắt ngang theo chiều cao
Xét thân trụ tròn nằm ngang chính xác, bán kính trong R, chiều dài phần trụ thẳng L. Mức h được đo thẳng đứng từ điểm thấp nhất của tiết diện trong, với 0≤h≤2R. Chưa tính chỏm, ống trong, baffle hay bất kỳ phần thể tích chiếm chỗ nào.
Ở cao độ y tính từ đáy, phương trình đường tròn cho nửa chiều rộng bằng √(R²−(y−R)²). Lát cao dy có thể tích dV=2L√(2Ry−y²)dy. Tích phân từ 0 tới h:
V(h) = L{R² arccos[(R−h)/R] − (R−h)√(2Rh−h²)}.
R, L, h đều tính bằng m thì V là m³. arccos phải trả radian. Công thức dùng được cả dưới lẫn trên tâm; khi h>R, số R−h âm và số hạng cuối tự đổi dấu phù hợp. Ép arccos về một góc nhọn sẽ làm sai nửa trên của bình.
Ba kiểm tra độc lập là V(0)=0, V(R)=πR²L/2 và V(2R)=πR²L. Ngoài ra V(h)+V(2R−h)=πR²L do đối xứng. Đây là các phép kiểm hình học, không phụ thuộc một bộ số cụ thể. Chúng giúp bắt lỗi ngoặc, đơn vị góc và dấu trước khi nhập bảng vào hệ đo.
Một bình giả định đường kính 2,4 mét
Chọn R=1,20 m và L=6,00 m. Dung tích toàn phần thân trụ là 27,143361 m³. Tại h=0,40 m, lượng lỏng chỉ 2,973583 m³, tức 10,9551% dung tích. Tại h=0,60 m, bằng 25% chiều cao, lượng lỏng là 5,306557 m³, tức 19,5501% dung tích.
Ở h=1,20 m, thể tích đúng một nửa, 13,571680 m³. Tại h=1,80 m, tương ứng 75% chiều cao, thể tích là 21,836803 m³, tức 80,4499% dung tích. Hai mức 0,60 và 1,80 m cộng dung tích đúng bằng toàn thân, như kiểm đối xứng yêu cầu.
Nếu cần đúng 25% dung tích, giải V(h)=0,25πR²L trên đoạn từ 0 tới R cho h=0,715233 m. Mức này bằng khoảng 29,80% đường kính. Nên dùng phép chia đôi hoặc bộ giải có chặn trong miền vật lý, vì V tăng liên tục; không cho bộ giải đi ra h âm rồi xử lý căn bậc hai bằng một thủ thuật che lỗi.
Thể tích hữu ích giữa hai mức
Giả định hai mốc khảo sát được chọn là 0,40 và 1,80 m. Đây chỉ là mốc tính ví dụ, không phải mức báo động hay giới hạn vận hành khuyến nghị. Thể tích chênh giữa chúng:
ΔV = V(1,80)−V(0,40) = 18,863221 m³.
Nếu lưu lượng ròng vào không đổi 0,025 m³/s, thời gian đi từ mức thấp tới mức cao là ΔV/Q_ròng=754,528825 s, khoảng 12,58 phút. Dùng chiều cao theo tuyến tính rồi nhân dung tích toàn bình chỉ cho 15,833627 m³ và thời gian ngắn hơn. Sai số đến từ ánh xạ hình học, dù hai số mức và lưu lượng đều nhập đúng.
Q_ròng phải là Q_vào−Q_ra theo cùng cơ sở thể tích. Nếu có bay hơi đáng kể, giãn nở nhiệt hoặc hai pha cùng thay đổi tồn chứa, phải lập cân bằng tương ứng. Thời gian trên không tự là thời gian lưu của từng giọt lỏng; nó chỉ mô tả biến thiên lượng chứa giữa hai mốc.
Độ nhạy theo mức và sai lệch điểm không
Lấy đạo hàm tích phân cho:
dV/dh = 2L√(2Rh−h²).
Đại lượng này có đơn vị m², chính là diện tích mặt thoáng của phần thân trụ tại mức đang xét. Giá trị lớn nhất ở h=R, bằng 2RL=14,4 m². Một độ lệch nhỏ δh gây δV≈(dV/dh)δh; cần dùng độ dốc tại đúng mức hiện tại.
Tại h=1,20 m, đọc cao hơn 5 mm làm V tính tăng 0,0719998 m³, xấp xỉ 72 L, tương đương 0,530515% lượng đang chứa. Tại h=0,10 m, thể tích thật chỉ 0,386982 m³; cùng độ lệch +5 mm làm tăng 0,0291158 m³, tức 7,52381%. Sai lệch tuyệt đối nhỏ hơn nhưng sai lệch tương đối lớn hơn nhiều.
Ở mức 0,10 m, tuyến tính hóa cho 0,0287750 m³, hơi khác kết quả hữu hạn 0,0291158 vì độ dốc đang thay đổi. Gần đáy không nên thay phép tính hữu hạn bằng vi phân mà không xem kích thước của δh so với chính h. Khi h tiến về không, phần trăm sai số theo lượng lỏng có thể tăng mạnh.
Nghiên cứu của Samoilenko và cộng sự trên OIML Bulletin phân tích việc liên kết mốc của máy đo mức tự động với mốc bảng dung tích; lệch giữa hai mốc có thể tạo sai lệch hệ thống. [3] Do đó cần xác định đáy hình học, mốc đo của thiết bị và mốc không của bảng có trùng nhau hay cần một phép chuyển cao độ. Không nhập trực tiếp khoảng cách từ mặt bích xuống mặt lỏng vào vị trí của h.
Bảng quy đổi thưa có thể làm mất độ cong
Giả sử bảng chỉ có hai điểm 0,40 m và 0,80 m. Thể tích tương ứng là 2,973583 và 7,920199 m³. Nội suy tuyến tính tại 0,60 m cho 5,446891 m³, trong khi công thức hình học cho 5,306557 m³. Chênh 0,140334 m³ xuất hiện ngay cả khi hai đầu bảng hoàn toàn đúng.
Khoảng chia đều theo mức không tạo sai số nội suy đều ở mọi mức. Có thể kiểm bảng bằng các điểm giữa độc lập, đồng thời xem vùng gần đáy và đỉnh nơi độ cong khác giữa bình. Tài liệu Levelflex FMP51 phân biệt chế độ hình trụ ngang với chế độ tuyến tính và chế độ bảng, đồng thời yêu cầu đường kính, đơn vị và giá trị tối đa thích hợp. [2] Chọn đúng tên hình học chưa đủ nếu thông số hoặc mốc đo sai.
Nếu bình có hai chỏm ellipsoid
Một mở rộng hình học riêng: thêm hai nửa ellipsoid giống nhau ở hai đầu, mỗi chỏm có chiều sâu dọc trục c=0,60 m và bán kính nối thân R=1,20 m. Hai nửa ghép theo thể tích tương đương một ellipsoid có bán trục c, R, R. Không áp dụng công thức này cho chỏm torispherical hoặc một chỏm có biên dạng khác.
Ở cao độ y, diện tích lát ngang của cặp chỏm là πcR{1−[(y−R)/R]²}. Tích phân theo y cho:
V_chỏm(h) = πc(h²−h³/(3R)).
Tại h=2R, kết quả bằng 4πcR²/3=3,619115 m³. Tổng dung tích thân và hai chỏm là 30,762475 m³. Tại h=0,40 m, cặp chỏm góp 0,268083 m³; tại 1,80 m góp 3,053628 m³. Vì đóng góp cũng phi tuyến theo mức, không thể cộng một thể tích chỏm đầy cố định vào mọi mức đọc.
Hình học trên giả định bình không nghiêng và các kích thước là kích thước trong. Một bình nghiêng cần tích phân theo vị trí dọc trục với độ ngập khác nhau; có baffle hay ống trong thì cần trừ thể tích chiếm chỗ phù hợp. Công thức là nền để hiểu và kiểm dữ liệu. Khi dùng cho giao nhận hoặc quản lý tồn chính xác, bảng dung tích thực và mốc đo truy xuất được mới quyết định quan hệ mức–thể tích của chính chiếc bình đó.
Nguồn tham khảo
[1] Circular Segment — Eric W. Weisstein, Wolfram MathWorld. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Levelflex FMP51 Modbus — Operating Instructions BA01957F/00/EN/03.24-00, 2024-06-06, Linearization — Endress+Hauser. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] Linking the readings of an automatic level gauge to the calibration table of a tank before it is put into operation — Samoilenko Oleksandr, Zaiets Volodymyr and Akolzin Ivan, UKRMETRTESTSTANDART; OIML Bulletin LXV(4), October 2024. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
Một bình nằm ngang được điền mức từ đáy lên đỉnh. Mỗi milimét tăng mức không thêm cùng một thể tích: sát đáy lát chất lỏng hẹp, ở giữa bình lát rộng nhất, rồi lại hẹp gần đỉnh. Vì vậy đường chuyển từ mức sang dung tích phải phản ánh hình học, trước khi dùng tín hiệu để tính tồn kho hoặc thời gian dự phòng.
MathWorld trình bày diện tích phân đoạn tròn bằng phần quạt trừ tam giác và chỉ rõ ứng dụng vào lượng lỏng trong hình trụ ngang. [1] Dưới đây ta dựng lại công thức bằng lát cắt và dùng số liệu giả định; không coi kích thước danh nghĩa của bình là bảng dung tích đã hiệu chuẩn.
Lát cắt ngang theo chiều cao
Xét thân trụ tròn nằm ngang chính xác, bán kính trong R, chiều dài phần trụ thẳng L. Mức h được đo thẳng đứng từ điểm thấp nhất của tiết diện trong, với 0≤h≤2R. Chưa tính chỏm, ống trong, baffle hay bất kỳ phần thể tích chiếm chỗ nào.
Ở cao độ y tính từ đáy, phương trình đường tròn cho nửa chiều rộng bằng √(R²−(y−R)²). Lát cao dy có thể tích dV=2L√(2Ry−y²)dy. Tích phân từ 0 tới h:
V(h) = L{R² arccos[(R−h)/R] − (R−h)√(2Rh−h²)}.
R, L, h đều tính bằng m thì V là m³. arccos phải trả radian. Công thức dùng được cả dưới lẫn trên tâm; khi h>R, số R−h âm và số hạng cuối tự đổi dấu phù hợp. Ép arccos về một góc nhọn sẽ làm sai nửa trên của bình.
Ba kiểm tra độc lập là V(0)=0, V(R)=πR²L/2 và V(2R)=πR²L. Ngoài ra V(h)+V(2R−h)=πR²L do đối xứng. Đây là các phép kiểm hình học, không phụ thuộc một bộ số cụ thể. Chúng giúp bắt lỗi ngoặc, đơn vị góc và dấu trước khi nhập bảng vào hệ đo.
Một bình giả định đường kính 2,4 mét
Chọn R=1,20 m và L=6,00 m. Dung tích toàn phần thân trụ là 27,143361 m³. Tại h=0,40 m, lượng lỏng chỉ 2,973583 m³, tức 10,9551% dung tích. Tại h=0,60 m, bằng 25% chiều cao, lượng lỏng là 5,306557 m³, tức 19,5501% dung tích.
Ở h=1,20 m, thể tích đúng một nửa, 13,571680 m³. Tại h=1,80 m, tương ứng 75% chiều cao, thể tích là 21,836803 m³, tức 80,4499% dung tích. Hai mức 0,60 và 1,80 m cộng dung tích đúng bằng toàn thân, như kiểm đối xứng yêu cầu.
Nếu cần đúng 25% dung tích, giải V(h)=0,25πR²L trên đoạn từ 0 tới R cho h=0,715233 m. Mức này bằng khoảng 29,80% đường kính. Nên dùng phép chia đôi hoặc bộ giải có chặn trong miền vật lý, vì V tăng liên tục; không cho bộ giải đi ra h âm rồi xử lý căn bậc hai bằng một thủ thuật che lỗi.
Thể tích hữu ích giữa hai mức
Giả định hai mốc khảo sát được chọn là 0,40 và 1,80 m. Đây chỉ là mốc tính ví dụ, không phải mức báo động hay giới hạn vận hành khuyến nghị. Thể tích chênh giữa chúng:
ΔV = V(1,80)−V(0,40) = 18,863221 m³.
Nếu lưu lượng ròng vào không đổi 0,025 m³/s, thời gian đi từ mức thấp tới mức cao là ΔV/Q_ròng=754,528825 s, khoảng 12,58 phút. Dùng chiều cao theo tuyến tính rồi nhân dung tích toàn bình chỉ cho 15,833627 m³ và thời gian ngắn hơn. Sai số đến từ ánh xạ hình học, dù hai số mức và lưu lượng đều nhập đúng.
Q_ròng phải là Q_vào−Q_ra theo cùng cơ sở thể tích. Nếu có bay hơi đáng kể, giãn nở nhiệt hoặc hai pha cùng thay đổi tồn chứa, phải lập cân bằng tương ứng. Thời gian trên không tự là thời gian lưu của từng giọt lỏng; nó chỉ mô tả biến thiên lượng chứa giữa hai mốc.
Độ nhạy theo mức và sai lệch điểm không
Lấy đạo hàm tích phân cho:
dV/dh = 2L√(2Rh−h²).
Đại lượng này có đơn vị m², chính là diện tích mặt thoáng của phần thân trụ tại mức đang xét. Giá trị lớn nhất ở h=R, bằng 2RL=14,4 m². Một độ lệch nhỏ δh gây δV≈(dV/dh)δh; cần dùng độ dốc tại đúng mức hiện tại.
Tại h=1,20 m, đọc cao hơn 5 mm làm V tính tăng 0,0719998 m³, xấp xỉ 72 L, tương đương 0,530515% lượng đang chứa. Tại h=0,10 m, thể tích thật chỉ 0,386982 m³; cùng độ lệch +5 mm làm tăng 0,0291158 m³, tức 7,52381%. Sai lệch tuyệt đối nhỏ hơn nhưng sai lệch tương đối lớn hơn nhiều.
Ở mức 0,10 m, tuyến tính hóa cho 0,0287750 m³, hơi khác kết quả hữu hạn 0,0291158 vì độ dốc đang thay đổi. Gần đáy không nên thay phép tính hữu hạn bằng vi phân mà không xem kích thước của δh so với chính h. Khi h tiến về không, phần trăm sai số theo lượng lỏng có thể tăng mạnh.
Nghiên cứu của Samoilenko và cộng sự trên OIML Bulletin phân tích việc liên kết mốc của máy đo mức tự động với mốc bảng dung tích; lệch giữa hai mốc có thể tạo sai lệch hệ thống. [3] Do đó cần xác định đáy hình học, mốc đo của thiết bị và mốc không của bảng có trùng nhau hay cần một phép chuyển cao độ. Không nhập trực tiếp khoảng cách từ mặt bích xuống mặt lỏng vào vị trí của h.
Bảng quy đổi thưa có thể làm mất độ cong
Giả sử bảng chỉ có hai điểm 0,40 m và 0,80 m. Thể tích tương ứng là 2,973583 và 7,920199 m³. Nội suy tuyến tính tại 0,60 m cho 5,446891 m³, trong khi công thức hình học cho 5,306557 m³. Chênh 0,140334 m³ xuất hiện ngay cả khi hai đầu bảng hoàn toàn đúng.
Khoảng chia đều theo mức không tạo sai số nội suy đều ở mọi mức. Có thể kiểm bảng bằng các điểm giữa độc lập, đồng thời xem vùng gần đáy và đỉnh nơi độ cong khác giữa bình. Tài liệu Levelflex FMP51 phân biệt chế độ hình trụ ngang với chế độ tuyến tính và chế độ bảng, đồng thời yêu cầu đường kính, đơn vị và giá trị tối đa thích hợp. [2] Chọn đúng tên hình học chưa đủ nếu thông số hoặc mốc đo sai.
Nếu bình có hai chỏm ellipsoid
Một mở rộng hình học riêng: thêm hai nửa ellipsoid giống nhau ở hai đầu, mỗi chỏm có chiều sâu dọc trục c=0,60 m và bán kính nối thân R=1,20 m. Hai nửa ghép theo thể tích tương đương một ellipsoid có bán trục c, R, R. Không áp dụng công thức này cho chỏm torispherical hoặc một chỏm có biên dạng khác.
Ở cao độ y, diện tích lát ngang của cặp chỏm là πcR{1−[(y−R)/R]²}. Tích phân theo y cho:
V_chỏm(h) = πc(h²−h³/(3R)).
Tại h=2R, kết quả bằng 4πcR²/3=3,619115 m³. Tổng dung tích thân và hai chỏm là 30,762475 m³. Tại h=0,40 m, cặp chỏm góp 0,268083 m³; tại 1,80 m góp 3,053628 m³. Vì đóng góp cũng phi tuyến theo mức, không thể cộng một thể tích chỏm đầy cố định vào mọi mức đọc.
Hình học trên giả định bình không nghiêng và các kích thước là kích thước trong. Một bình nghiêng cần tích phân theo vị trí dọc trục với độ ngập khác nhau; có baffle hay ống trong thì cần trừ thể tích chiếm chỗ phù hợp. Công thức là nền để hiểu và kiểm dữ liệu. Khi dùng cho giao nhận hoặc quản lý tồn chính xác, bảng dung tích thực và mốc đo truy xuất được mới quyết định quan hệ mức–thể tích của chính chiếc bình đó.
Nguồn tham khảo
[1] Circular Segment — Eric W. Weisstein, Wolfram MathWorld. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Levelflex FMP51 Modbus — Operating Instructions BA01957F/00/EN/03.24-00, 2024-06-06, Linearization — Endress+Hauser. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] Linking the readings of an automatic level gauge to the calibration table of a tank before it is put into operation — Samoilenko Oleksandr, Zaiets Volodymyr and Akolzin Ivan, UKRMETRTESTSTANDART; OIML Bulletin LXV(4), October 2024. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
