Ứng suất trung bình và ứng suất cực đại là hai đại lượng khác nhau
Công thức pD/(2t) xuất hiện trong nhiều bài nhập môn về bình chịu áp. Cách dùng hợp lý bắt đầu từ câu hỏi: công thức đang đại diện cho giá trị nào, tại đâu, trong một cấu hình nào? Nếu lấy một giá trị trung bình qua chiều dày rồi xem đó là ứng suất lớn nhất ở mặt trong của một vỏ dày, phép tính có thể bỏ sót chênh lệch đáng kể dù các đơn vị đều đúng.
Bài này chỉ xét đoạn trụ tròn đều, đủ xa đầu nắp, vòi nối và gối đỡ, chịu áp suất trong đồng đều. Vật liệu được giả thiết đồng nhất, đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính và biến dạng nhỏ. Áp suất ngoài trong mô hình lấy bằng không theo mốc áp suất đang dùng. Không có nhiệt độ biến thiên, tải uốn hoặc lực tập trung. Các công thức là mô hình cơ học, không phải công thức lựa chọn chiều dày theo tiêu chuẩn chế tạo.
Cân bằng lực dẫn tới mô hình thành mỏng
Với bán kính trong r_i, chiều dày t và áp suất chênh p, mô hình màng cho ứng suất vòng σ_θ xấp xỉ pr_i/t. Bình trụ kín, khi lực trên nắp được truyền vào thành, có ứng suất dọc xấp xỉ pr_i/(2t). Tài liệu của University of Illinois nêu rõ giả thiết phân bố ứng suất đồng đều qua một thành rất mỏng so với bán kính. [1]
σ_θ,thin = pr_i/t = pD_i/(2t)
σ_z,thin = pr_i/(2t)
p và σ phải dùng cùng đơn vị áp suất, chẳng hạn MPa; r_i, D_i và t phải dùng cùng đơn vị chiều dài. σ_θ là ứng suất theo chu vi, σ_z là ứng suất dọc trục. Nếu dùng áp suất Pa và chiều dài m, kết quả ứng suất là Pa. Không thêm một hệ số chuyển đổi chỉ vì công thức ngắn.
Có một điểm tinh tế: khi áp suất ngoài bằng không, cân bằng lực trên nửa trụ cho ứng suất vòng trung bình theo chiều dày bằng pr_i/t. Nhưng khi thành dày, giá trị trung bình không còn đại diện tốt cho phân bố cục bộ. Tài liệu MIT phân biệt rõ sử dụng công thức trung bình và sử dụng nó để xấp xỉ ứng suất cực đại. [2]
Mô hình trụ dày giữ lại sự thay đổi theo bán kính
Với r_o là bán kính ngoài, r là vị trí đang xét trong thành, nghiệm đàn hồi đối xứng trục dưới áp suất trong p và áp suất ngoài bằng không có dạng:
A = p r_i²/(r_o² − r_i²)
B = p r_i²r_o²/(r_o² − r_i²)
σ_r(r) = A − B/r²; σ_θ(r) = A + B/r²
A có đơn vị áp suất; B có đơn vị áp suất nhân chiều dài bình phương. Quy ước kéo dương, nén âm. Điều kiện biên kiểm tra được ngay là σ_r(r_i) = −p và σ_r(r_o) = 0. Phân bố của mô hình trụ dày được trình bày trong tài liệu cơ học của University of Western Australia. [3]
Tại mặt trong, ứng suất vòng bằng p(r_o² + r_i²)/(r_o² − r_i²). Nó lớn hơn ở mặt ngoài trong trường hợp tải đang xét. Ứng suất dọc cần xét điều kiện đầu trụ riêng: bình kín có lực nắp truyền vào thành khác với trụ bị khóa hoàn toàn biến dạng dọc. Không nên sao chép công thức σ_z của một điều kiện biên sang điều kiện khác.
Ví dụ giả định: thành dày 20 mm, bán kính trong 100 mm
Chọn r_i = 0,100 m, r_o = 0,120 m và p = 10 MPa. Chiều dày t = 0,020 m, tức tỷ số t/r_i = 0,20. Công thức thành mỏng cho σ_θ,thin = 10 × 0,100/0,020 = 50 MPa.
Trong mô hình thành dày, A = 22,727 MPa; B = 0,327273 MPa·m². Tại mặt trong, B/r_i² = 32,727 MPa. Do đó σ_θ(r_i) = 55,455 MPa và σ_r(r_i) = −10 MPa. Tại mặt ngoài, B/r_o² = 22,727 MPa, cho σ_θ(r_o) = 45,455 MPa và σ_r(r_o) = 0. Cả hai điều kiện biên đều khép kín.
Nếu người tính lấy 50 MPa làm ứng suất vòng cực đại, kết quả thấp hơn giá trị 55,455 MPa khoảng 9,84%, khi sai số được chia cho giá trị cực đại của mô hình thành dày. Nếu chia chênh lệch cho 50 MPa, tỷ lệ sẽ là 10,91%. Hai tỷ lệ khác nhau vì mẫu số khác nhau; một báo cáo kỹ thuật cần ghi rõ cách định nghĩa sai số.
Với bình kín và không có lực dọc bổ sung, cân bằng lực nắp cho σ_z = p r_i²/(r_o² − r_i²), tức 22,727 MPa. Giá trị thành mỏng là 25 MPa. Không thể chỉ nhìn một thành phần ứng suất rồi tự kết luận mức độ an toàn của toàn bộ trạng thái ba trục.
So sánh hai chiều dày để hiểu giới hạn xấp xỉ
Giữ r_i = 0,100 m và p = 10 MPa, giảm t xuống 0,005 m. Công thức thành mỏng cho 200 MPa; mô hình thành dày cho khoảng 205,122 MPa ở mặt trong. Sai lệch tương đối theo giá trị thành dày còn khoảng 2,50%. Xấp xỉ tốt hơn về mặt hình học, nhưng ứng suất tuyệt đối cao hơn nhiều vì thành mỏng hơn. “Xấp xỉ tốt” không có nghĩa “thiết bị an toàn”.
Nếu tăng t lên 0,050 m, r_o = 0,150 m, giá trị thành mỏng là 20 MPa và giá trị mặt trong của mô hình thành dày là 26 MPa. Sai lệch thành 23,08%. Dày hơn làm giảm ứng suất thực trong ví dụ, nhưng đồng thời làm giả thiết phân bố đồng đều kém chính xác. Đây là hai xu hướng độc lập cần được phân biệt.
Có thể chuẩn hóa bằng x = t/r_i. Tỷ số ứng suất vòng mặt trong trên áp suất là ((1+x)²+1)/((1+x)²−1), trong khi mô hình thành mỏng cho 1/x. Biểu diễn này cho phép khảo sát độ nhạy hình học mà không gắn kết quả với một kích thước tuyệt đối. Khi mọi kích thước cùng nhân một hệ số, giữ x và p không đổi, các ứng suất của mô hình này không đổi.
Những câu hỏi không được trả lời bằng phép tính trên
Nghiệm trụ đều không chứa vòi nối, mép nắp, mối hàn có hình dạng thực, khuyết tật hoặc vùng mất chiều dày cục bộ. Nó cũng không mô tả mất ổn định do áp suất ngoài. Đổi dấu p trong một công thức rồi coi đó là kiểm tra ổn định vỏ là vượt quá phạm vi mô hình. Các dạng tải nhiệt, mỏi và biến dạng dẻo cần cách đánh giá tương ứng.
Nếu dùng bài tính để kiểm tra sơ bộ một bản vẽ, cần xác định chiều dày đang nhập là danh nghĩa hay còn lại, đường kính là trong hay ngoài, áp suất là chênh áp nào và điều kiện truyền lực ở hai đầu. Tiếp đó mới xem mô hình có đại diện được vùng đang quan tâm hay không. Nguồn vật liệu, nhiệt độ, dung sai, cơ chế suy giảm và tiêu chí thiết kế phải được bổ sung trong hồ sơ dự án.
Không có giới hạn nghiệm thu được đặt ra trong ví dụ này. Kết quả có giá trị ở chỗ nó lượng hóa sai số của một phép xấp xỉ quen thuộc, buộc người đọc kiểm tra điều kiện biên và phân biệt ứng suất trung bình, cực đại, dọc và hướng kính trước khi dùng chúng trong một phép đánh giá tiếp theo.
Nguồn tham khảo
[1] Introductory Solid Mechanics — Pressure Vessels — University of Illinois Urbana-Champaign. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Introduction to Structural Mechanics — Note L.4 — MIT OpenCourseWare — Lothar Wolf, Mujid S. Kazimi, Neil E. Todreas. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] DANotes — Cylinders: Thick cylinders — University of Western Australia — Douglas Wright. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
Công thức pD/(2t) xuất hiện trong nhiều bài nhập môn về bình chịu áp. Cách dùng hợp lý bắt đầu từ câu hỏi: công thức đang đại diện cho giá trị nào, tại đâu, trong một cấu hình nào? Nếu lấy một giá trị trung bình qua chiều dày rồi xem đó là ứng suất lớn nhất ở mặt trong của một vỏ dày, phép tính có thể bỏ sót chênh lệch đáng kể dù các đơn vị đều đúng.
Bài này chỉ xét đoạn trụ tròn đều, đủ xa đầu nắp, vòi nối và gối đỡ, chịu áp suất trong đồng đều. Vật liệu được giả thiết đồng nhất, đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính và biến dạng nhỏ. Áp suất ngoài trong mô hình lấy bằng không theo mốc áp suất đang dùng. Không có nhiệt độ biến thiên, tải uốn hoặc lực tập trung. Các công thức là mô hình cơ học, không phải công thức lựa chọn chiều dày theo tiêu chuẩn chế tạo.
Cân bằng lực dẫn tới mô hình thành mỏng
Với bán kính trong r_i, chiều dày t và áp suất chênh p, mô hình màng cho ứng suất vòng σ_θ xấp xỉ pr_i/t. Bình trụ kín, khi lực trên nắp được truyền vào thành, có ứng suất dọc xấp xỉ pr_i/(2t). Tài liệu của University of Illinois nêu rõ giả thiết phân bố ứng suất đồng đều qua một thành rất mỏng so với bán kính. [1]
σ_θ,thin = pr_i/t = pD_i/(2t)
σ_z,thin = pr_i/(2t)
p và σ phải dùng cùng đơn vị áp suất, chẳng hạn MPa; r_i, D_i và t phải dùng cùng đơn vị chiều dài. σ_θ là ứng suất theo chu vi, σ_z là ứng suất dọc trục. Nếu dùng áp suất Pa và chiều dài m, kết quả ứng suất là Pa. Không thêm một hệ số chuyển đổi chỉ vì công thức ngắn.
Có một điểm tinh tế: khi áp suất ngoài bằng không, cân bằng lực trên nửa trụ cho ứng suất vòng trung bình theo chiều dày bằng pr_i/t. Nhưng khi thành dày, giá trị trung bình không còn đại diện tốt cho phân bố cục bộ. Tài liệu MIT phân biệt rõ sử dụng công thức trung bình và sử dụng nó để xấp xỉ ứng suất cực đại. [2]
Mô hình trụ dày giữ lại sự thay đổi theo bán kính
Với r_o là bán kính ngoài, r là vị trí đang xét trong thành, nghiệm đàn hồi đối xứng trục dưới áp suất trong p và áp suất ngoài bằng không có dạng:
A = p r_i²/(r_o² − r_i²)
B = p r_i²r_o²/(r_o² − r_i²)
σ_r(r) = A − B/r²; σ_θ(r) = A + B/r²
A có đơn vị áp suất; B có đơn vị áp suất nhân chiều dài bình phương. Quy ước kéo dương, nén âm. Điều kiện biên kiểm tra được ngay là σ_r(r_i) = −p và σ_r(r_o) = 0. Phân bố của mô hình trụ dày được trình bày trong tài liệu cơ học của University of Western Australia. [3]
Tại mặt trong, ứng suất vòng bằng p(r_o² + r_i²)/(r_o² − r_i²). Nó lớn hơn ở mặt ngoài trong trường hợp tải đang xét. Ứng suất dọc cần xét điều kiện đầu trụ riêng: bình kín có lực nắp truyền vào thành khác với trụ bị khóa hoàn toàn biến dạng dọc. Không nên sao chép công thức σ_z của một điều kiện biên sang điều kiện khác.
Ví dụ giả định: thành dày 20 mm, bán kính trong 100 mm
Chọn r_i = 0,100 m, r_o = 0,120 m và p = 10 MPa. Chiều dày t = 0,020 m, tức tỷ số t/r_i = 0,20. Công thức thành mỏng cho σ_θ,thin = 10 × 0,100/0,020 = 50 MPa.
Trong mô hình thành dày, A = 22,727 MPa; B = 0,327273 MPa·m². Tại mặt trong, B/r_i² = 32,727 MPa. Do đó σ_θ(r_i) = 55,455 MPa và σ_r(r_i) = −10 MPa. Tại mặt ngoài, B/r_o² = 22,727 MPa, cho σ_θ(r_o) = 45,455 MPa và σ_r(r_o) = 0. Cả hai điều kiện biên đều khép kín.
Nếu người tính lấy 50 MPa làm ứng suất vòng cực đại, kết quả thấp hơn giá trị 55,455 MPa khoảng 9,84%, khi sai số được chia cho giá trị cực đại của mô hình thành dày. Nếu chia chênh lệch cho 50 MPa, tỷ lệ sẽ là 10,91%. Hai tỷ lệ khác nhau vì mẫu số khác nhau; một báo cáo kỹ thuật cần ghi rõ cách định nghĩa sai số.
Với bình kín và không có lực dọc bổ sung, cân bằng lực nắp cho σ_z = p r_i²/(r_o² − r_i²), tức 22,727 MPa. Giá trị thành mỏng là 25 MPa. Không thể chỉ nhìn một thành phần ứng suất rồi tự kết luận mức độ an toàn của toàn bộ trạng thái ba trục.
So sánh hai chiều dày để hiểu giới hạn xấp xỉ
Giữ r_i = 0,100 m và p = 10 MPa, giảm t xuống 0,005 m. Công thức thành mỏng cho 200 MPa; mô hình thành dày cho khoảng 205,122 MPa ở mặt trong. Sai lệch tương đối theo giá trị thành dày còn khoảng 2,50%. Xấp xỉ tốt hơn về mặt hình học, nhưng ứng suất tuyệt đối cao hơn nhiều vì thành mỏng hơn. “Xấp xỉ tốt” không có nghĩa “thiết bị an toàn”.
Nếu tăng t lên 0,050 m, r_o = 0,150 m, giá trị thành mỏng là 20 MPa và giá trị mặt trong của mô hình thành dày là 26 MPa. Sai lệch thành 23,08%. Dày hơn làm giảm ứng suất thực trong ví dụ, nhưng đồng thời làm giả thiết phân bố đồng đều kém chính xác. Đây là hai xu hướng độc lập cần được phân biệt.
Có thể chuẩn hóa bằng x = t/r_i. Tỷ số ứng suất vòng mặt trong trên áp suất là ((1+x)²+1)/((1+x)²−1), trong khi mô hình thành mỏng cho 1/x. Biểu diễn này cho phép khảo sát độ nhạy hình học mà không gắn kết quả với một kích thước tuyệt đối. Khi mọi kích thước cùng nhân một hệ số, giữ x và p không đổi, các ứng suất của mô hình này không đổi.
Những câu hỏi không được trả lời bằng phép tính trên
Nghiệm trụ đều không chứa vòi nối, mép nắp, mối hàn có hình dạng thực, khuyết tật hoặc vùng mất chiều dày cục bộ. Nó cũng không mô tả mất ổn định do áp suất ngoài. Đổi dấu p trong một công thức rồi coi đó là kiểm tra ổn định vỏ là vượt quá phạm vi mô hình. Các dạng tải nhiệt, mỏi và biến dạng dẻo cần cách đánh giá tương ứng.
Nếu dùng bài tính để kiểm tra sơ bộ một bản vẽ, cần xác định chiều dày đang nhập là danh nghĩa hay còn lại, đường kính là trong hay ngoài, áp suất là chênh áp nào và điều kiện truyền lực ở hai đầu. Tiếp đó mới xem mô hình có đại diện được vùng đang quan tâm hay không. Nguồn vật liệu, nhiệt độ, dung sai, cơ chế suy giảm và tiêu chí thiết kế phải được bổ sung trong hồ sơ dự án.
Không có giới hạn nghiệm thu được đặt ra trong ví dụ này. Kết quả có giá trị ở chỗ nó lượng hóa sai số của một phép xấp xỉ quen thuộc, buộc người đọc kiểm tra điều kiện biên và phân biệt ứng suất trung bình, cực đại, dọc và hướng kính trước khi dùng chúng trong một phép đánh giá tiếp theo.
Nguồn tham khảo
[1] Introductory Solid Mechanics — Pressure Vessels — University of Illinois Urbana-Champaign. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Introduction to Structural Mechanics — Note L.4 — MIT OpenCourseWare — Lothar Wolf, Mujid S. Kazimi, Neil E. Todreas. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] DANotes — Cylinders: Thick cylinders — University of Western Australia — Douglas Wright. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
