Vấn đề: dầm đủ bền vẫn có thể chuyển vị quá lớn
Dầm đỡ sàn thao tác, tuyến ống hoặc một cụm thiết bị có thể chưa đạt đến ứng suất nguy hiểm nhưng chuyển vị đã ảnh hưởng tới căn chỉnh, cao độ và khoảng hở. Vì vậy, tính độ võng cần được đặt cạnh bài toán nội lực. Một kết quả ứng suất thấp không tự chứng minh rằng đầu nối thiết bị sẽ giữ đúng vị trí dưới tải làm việc.
Bài viết khảo sát dầm thẳng, tiết diện không đổi, hai gối đơn, chịu tải phân bố đều theo chiều dài. Vật liệu được mô hình hóa đàn hồi tuyến tính; biến dạng và góc xoay nhỏ; bỏ qua biến dạng cắt. Đây là mô hình uốn dầm mảnh. Bài giảng của MIT trình bày quan hệ giữa mômen, độ cong và độ cứng EI, cùng giới hạn khi bỏ qua méo tiết diện do cắt. [1] Ví dụ bên dưới chỉ nhằm phân tích độ nhạy, không ấn định giới hạn nghiệm thu cho một dự án cụ thể.
Độ cứng EI và đơn vị phải đi cùng nhau
Ký hiệu E là môđun đàn hồi, đơn vị N/m²; I là mômen quán tính diện tích quanh trục uốn, đơn vị m⁴. Tích EI có đơn vị N·m². I không phải mômen quán tính khối lượng và cũng không phải môđun chống uốn W. Trong cùng tiết diện, thay trục uốn có thể thay đổi I rất nhiều dù khối lượng thép không đổi.
Quan hệ cơ sở theo độ lớn là độ cong bằng M/EI. Với chuyển vị v chọn dương xuống dưới, mômen võng xuống chọn dương và trục x từ trái sang phải, phương trình trong quy ước bài này là:
EI·v″(x) = −M(x)
Dấu âm gắn với quy ước đã chọn; không nên ghép biểu đồ mômen của một quy ước với phương trình chuyển vị của quy ước khác. Tài liệu MIT về độ võng chỉ ra việc tích phân phương trình độ cong cần kèm các điều kiện biên để xác định hằng số. [2] Khi kiểm tra một bảng tính, định nghĩa chiều dương ngay trên sơ đồ sẽ hữu ích hơn việc sửa dấu ở ô kết quả cuối.
Với nhịp L tính bằng m và tải q tính bằng N/m, cân bằng cho phản lực mỗi gối bằng qL/2. Mômen tại tiết diện x là qx(L−x)/2. Hai điều kiện v(0)=v(L)=0 cho biểu thức:
v(x) = qx(L³ − 2Lx² + x³)/(24EI)
Thay x=L/2 thu được độ võng lớn nhất ở giữa nhịp:
δ = 5qL⁴/(384EI)
Đây cũng là kết quả dầm giản đơn chịu tải đều trong bảng công thức của giáo trình cơ học kết cấu MIT. [3] Hệ số 5/384 chỉ áp dụng với cấu hình đang xét. Nó không giữ nguyên nếu một đầu là ngàm, nếu có đoạn console hoặc nếu tải là một lực tập trung.
Ví dụ giả định: dầm nhịp sáu mét
Giả sử q=10 kN/m, L=6 m, E=200 GPa và I=8×10⁻⁵ m⁴. Tải q được giả định đã bao gồm toàn bộ tải phân bố dùng trong lần kiểm tra này; không cộng lại tự trọng nếu nó đã nằm trong q. Các số liệu này không đại diện cho một tiết diện thương mại hay một tổ hợp tải tiêu chuẩn.
Đổi q=10.000 N/m và E=200×10⁹ N/m², suy ra EI=16×10⁶ N·m². Thay số:
δ = 5×10.000×6⁴/(384×16×10⁶) = 0,010547 m
Độ võng xấp xỉ 10,55 mm. Phản lực mỗi gối là 30 kN và mômen giữa nhịp là 45 kN·m. Ba kết quả có vai trò khác nhau: phản lực phục vụ giao diện với cột hoặc gối; mômen phục vụ đánh giá ứng suất; độ võng phục vụ yêu cầu chuyển vị. Chúng cần được lưu cùng một trường hợp tải để tránh trộn kết quả từ các giả thiết khác nhau.
Có thể tính lại bằng hệ N–mm: q=10 N/mm, L=6.000 mm, E=200.000 N/mm², I=8×10⁷ mm⁴. Kết quả vẫn là 10,55 mm. Việc đổi I từ m⁴ sang mm⁴ cần nhân 10¹². Nhầm hệ số này thường gây kết quả lệch nhiều bậc độ lớn, trong khi hình dạng đường võng trên phần mềm vẫn trông hợp lý.
Góc xoay ở gối theo độ lớn là qL³/(24EI)=0,005625 rad, khoảng 0,322°. Con số này giúp kiểm tra giả thiết góc nhỏ của ví dụ. Nó không phải giới hạn cho phép của liên kết. Một mặt bích, thanh giằng hoặc thiết bị nhạy căn chỉnh có thể đưa ra yêu cầu riêng cần xét tại đúng vị trí giao tiếp.
Tăng nhịp mười phần trăm gây ra điều gì?
Giữ nguyên q, E và I, tăng L từ 6 lên 6,6 m làm độ võng nhân với 1,1⁴=1,4641. Kết quả tăng từ 10,55 lên 15,44 mm, tức khoảng 46,4%. Mômen chỉ tăng theo L², bằng 21%, còn phản lực tăng 10%. Vì vậy, phương án kéo dài nhịp để bỏ một cột có thể làm yêu cầu chuyển vị trở nên quyết định trước khi tỷ lệ tăng nội lực gợi ý điều đó.
Nếu nhịp giữ nguyên và tải tăng 10%, độ võng tăng đúng 10% trong mô hình tuyến tính: khoảng 11,60 mm. So sánh này chỉ có ý nghĩa khi q được giữ độc lập với nhịp. Nếu tổng tải W trên cả dầm được giữ cố định, q=W/L, khi đó δ tỷ lệ với L³. Người lập phương án cần nói rõ đang cố định tải trên mét hay tổng tải; hai câu hỏi dẫn đến hai độ nhạy khác nhau.
Một xấp xỉ vi phân hữu ích cho thay đổi nhỏ là:
dδ/δ ≈ dq/q + 4dL/L − dE/E − dI/I
Biểu thức giúp nhận ra biến nào cần đo hoặc chốt trước. Tuy nhiên, với thay đổi nhịp 10%, xấp xỉ 40% thấp hơn kết quả chính xác 46,4%. Khi so sánh phương án cụ thể, nên dùng tỷ số lũy thừa đầy đủ thay vì cộng các tỷ lệ gần đúng.
Tăng tiết diện và thay cách đặt tải
Giữ nguyên mọi biến khác, tăng I thêm 20% làm độ võng giảm còn 10,55/1,2=8,79 mm, tức giảm 16,7%. Không được suy luận rằng tăng khối lượng thép 20% luôn làm I tăng 20%; vị trí vật liệu so với trục trung hòa mới quyết định I. Với hình chữ nhật đặc, I=bh³/12 theo trục uốn qua trọng tâm, một quan hệ hình học được trình bày trong tài liệu [1]. Với tiết diện thép thực, cần dùng đúng đặc trưng hình học và hướng đặt dầm.
Nếu thay toàn bộ tải đều 60 kN bằng một lực 60 kN ở giữa nhịp, cùng E, I và L, độ võng là PL³/(48EI)=16,875 mm. Tổng lực và phản lực hai gối không thay đổi, nhưng độ võng tăng 60%. Đây là lý do không thể lấy tổng khối lượng thiết bị chia đều lên dầm mà bỏ qua vị trí chân đế khi chuyển vị là đại lượng cần kiểm soát.
Phép so sánh vừa nêu là hai mô hình tải độc lập. Nó không khẳng định một tải đều luôn bảo thủ hay luôn thiếu an toàn. Cần xác định đại lượng đang xét, sơ đồ gối, các vị trí đặt tải và đường truyền lực trước khi quyết định cách quy đổi.
Từ kết quả lý tưởng đến yêu cầu của công trình
Kết quả 10,55 mm mô tả võng tương đối của dầm so với hai đầu gối không chuyển vị. Nếu cột hoặc móng lún, chuyển vị tuyệt đối còn có thành phần do gối. Nếu hai gối lún khác nhau, đường nối hai gối bị nghiêng; độ dốc tại vị trí thiết bị thay đổi ngay cả khi phần uốn tương đối của dầm giữ nguyên.
Dầm ngắn, sâu hoặc cấu tạo có độ cứng cắt thấp cần xem xét biến dạng cắt. Dầm liên tục cần mô hình điều kiện tương thích giữa các nhịp. Lực dọc đáng kể, mất ổn định, trượt liên kết, biến dạng dẻo và tải động đều có thể làm mô hình tuyến tính đơn giản không còn đủ. Không thể chữa một mô hình thiếu cơ chế bằng cách chỉ tăng số chữ số thập phân của kết quả.
Trước khi đánh giá đạt hay không, cần biết tiêu chí chuyển vị của dự án, trường hợp tải sử dụng để kiểm tra, độ cứng thực của liên kết và yêu cầu từ thiết bị được đỡ. Báo cáo nên nêu chuyển vị ở đâu, theo phương nào, so với mốc nào và trong trạng thái nào. Cách trình bày ấy biến một công thức độ võng thành thông tin có thể phối hợp giữa kết cấu, đường ống và cơ khí.
Nguồn tham khảo
[1] Mechanics and Materials I — Lecture 21: Moment–Curvature Relationship — MIT OpenCourseWare — Carol Livermore. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Mechanics and Materials I — Lecture 22: Beam Deflection — MIT OpenCourseWare — Carol Livermore. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] Engineering Mechanics for Structures — Chapter 10: Deflections Due to Bending — MIT OpenCourseWare — Louis Bucciarelli. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
Dầm đỡ sàn thao tác, tuyến ống hoặc một cụm thiết bị có thể chưa đạt đến ứng suất nguy hiểm nhưng chuyển vị đã ảnh hưởng tới căn chỉnh, cao độ và khoảng hở. Vì vậy, tính độ võng cần được đặt cạnh bài toán nội lực. Một kết quả ứng suất thấp không tự chứng minh rằng đầu nối thiết bị sẽ giữ đúng vị trí dưới tải làm việc.
Bài viết khảo sát dầm thẳng, tiết diện không đổi, hai gối đơn, chịu tải phân bố đều theo chiều dài. Vật liệu được mô hình hóa đàn hồi tuyến tính; biến dạng và góc xoay nhỏ; bỏ qua biến dạng cắt. Đây là mô hình uốn dầm mảnh. Bài giảng của MIT trình bày quan hệ giữa mômen, độ cong và độ cứng EI, cùng giới hạn khi bỏ qua méo tiết diện do cắt. [1] Ví dụ bên dưới chỉ nhằm phân tích độ nhạy, không ấn định giới hạn nghiệm thu cho một dự án cụ thể.
Độ cứng EI và đơn vị phải đi cùng nhau
Ký hiệu E là môđun đàn hồi, đơn vị N/m²; I là mômen quán tính diện tích quanh trục uốn, đơn vị m⁴. Tích EI có đơn vị N·m². I không phải mômen quán tính khối lượng và cũng không phải môđun chống uốn W. Trong cùng tiết diện, thay trục uốn có thể thay đổi I rất nhiều dù khối lượng thép không đổi.
Quan hệ cơ sở theo độ lớn là độ cong bằng M/EI. Với chuyển vị v chọn dương xuống dưới, mômen võng xuống chọn dương và trục x từ trái sang phải, phương trình trong quy ước bài này là:
EI·v″(x) = −M(x)
Dấu âm gắn với quy ước đã chọn; không nên ghép biểu đồ mômen của một quy ước với phương trình chuyển vị của quy ước khác. Tài liệu MIT về độ võng chỉ ra việc tích phân phương trình độ cong cần kèm các điều kiện biên để xác định hằng số. [2] Khi kiểm tra một bảng tính, định nghĩa chiều dương ngay trên sơ đồ sẽ hữu ích hơn việc sửa dấu ở ô kết quả cuối.
Với nhịp L tính bằng m và tải q tính bằng N/m, cân bằng cho phản lực mỗi gối bằng qL/2. Mômen tại tiết diện x là qx(L−x)/2. Hai điều kiện v(0)=v(L)=0 cho biểu thức:
v(x) = qx(L³ − 2Lx² + x³)/(24EI)
Thay x=L/2 thu được độ võng lớn nhất ở giữa nhịp:
δ = 5qL⁴/(384EI)
Đây cũng là kết quả dầm giản đơn chịu tải đều trong bảng công thức của giáo trình cơ học kết cấu MIT. [3] Hệ số 5/384 chỉ áp dụng với cấu hình đang xét. Nó không giữ nguyên nếu một đầu là ngàm, nếu có đoạn console hoặc nếu tải là một lực tập trung.
Ví dụ giả định: dầm nhịp sáu mét
Giả sử q=10 kN/m, L=6 m, E=200 GPa và I=8×10⁻⁵ m⁴. Tải q được giả định đã bao gồm toàn bộ tải phân bố dùng trong lần kiểm tra này; không cộng lại tự trọng nếu nó đã nằm trong q. Các số liệu này không đại diện cho một tiết diện thương mại hay một tổ hợp tải tiêu chuẩn.
Đổi q=10.000 N/m và E=200×10⁹ N/m², suy ra EI=16×10⁶ N·m². Thay số:
δ = 5×10.000×6⁴/(384×16×10⁶) = 0,010547 m
Độ võng xấp xỉ 10,55 mm. Phản lực mỗi gối là 30 kN và mômen giữa nhịp là 45 kN·m. Ba kết quả có vai trò khác nhau: phản lực phục vụ giao diện với cột hoặc gối; mômen phục vụ đánh giá ứng suất; độ võng phục vụ yêu cầu chuyển vị. Chúng cần được lưu cùng một trường hợp tải để tránh trộn kết quả từ các giả thiết khác nhau.
Có thể tính lại bằng hệ N–mm: q=10 N/mm, L=6.000 mm, E=200.000 N/mm², I=8×10⁷ mm⁴. Kết quả vẫn là 10,55 mm. Việc đổi I từ m⁴ sang mm⁴ cần nhân 10¹². Nhầm hệ số này thường gây kết quả lệch nhiều bậc độ lớn, trong khi hình dạng đường võng trên phần mềm vẫn trông hợp lý.
Góc xoay ở gối theo độ lớn là qL³/(24EI)=0,005625 rad, khoảng 0,322°. Con số này giúp kiểm tra giả thiết góc nhỏ của ví dụ. Nó không phải giới hạn cho phép của liên kết. Một mặt bích, thanh giằng hoặc thiết bị nhạy căn chỉnh có thể đưa ra yêu cầu riêng cần xét tại đúng vị trí giao tiếp.
Tăng nhịp mười phần trăm gây ra điều gì?
Giữ nguyên q, E và I, tăng L từ 6 lên 6,6 m làm độ võng nhân với 1,1⁴=1,4641. Kết quả tăng từ 10,55 lên 15,44 mm, tức khoảng 46,4%. Mômen chỉ tăng theo L², bằng 21%, còn phản lực tăng 10%. Vì vậy, phương án kéo dài nhịp để bỏ một cột có thể làm yêu cầu chuyển vị trở nên quyết định trước khi tỷ lệ tăng nội lực gợi ý điều đó.
Nếu nhịp giữ nguyên và tải tăng 10%, độ võng tăng đúng 10% trong mô hình tuyến tính: khoảng 11,60 mm. So sánh này chỉ có ý nghĩa khi q được giữ độc lập với nhịp. Nếu tổng tải W trên cả dầm được giữ cố định, q=W/L, khi đó δ tỷ lệ với L³. Người lập phương án cần nói rõ đang cố định tải trên mét hay tổng tải; hai câu hỏi dẫn đến hai độ nhạy khác nhau.
Một xấp xỉ vi phân hữu ích cho thay đổi nhỏ là:
dδ/δ ≈ dq/q + 4dL/L − dE/E − dI/I
Biểu thức giúp nhận ra biến nào cần đo hoặc chốt trước. Tuy nhiên, với thay đổi nhịp 10%, xấp xỉ 40% thấp hơn kết quả chính xác 46,4%. Khi so sánh phương án cụ thể, nên dùng tỷ số lũy thừa đầy đủ thay vì cộng các tỷ lệ gần đúng.
Tăng tiết diện và thay cách đặt tải
Giữ nguyên mọi biến khác, tăng I thêm 20% làm độ võng giảm còn 10,55/1,2=8,79 mm, tức giảm 16,7%. Không được suy luận rằng tăng khối lượng thép 20% luôn làm I tăng 20%; vị trí vật liệu so với trục trung hòa mới quyết định I. Với hình chữ nhật đặc, I=bh³/12 theo trục uốn qua trọng tâm, một quan hệ hình học được trình bày trong tài liệu [1]. Với tiết diện thép thực, cần dùng đúng đặc trưng hình học và hướng đặt dầm.
Nếu thay toàn bộ tải đều 60 kN bằng một lực 60 kN ở giữa nhịp, cùng E, I và L, độ võng là PL³/(48EI)=16,875 mm. Tổng lực và phản lực hai gối không thay đổi, nhưng độ võng tăng 60%. Đây là lý do không thể lấy tổng khối lượng thiết bị chia đều lên dầm mà bỏ qua vị trí chân đế khi chuyển vị là đại lượng cần kiểm soát.
Phép so sánh vừa nêu là hai mô hình tải độc lập. Nó không khẳng định một tải đều luôn bảo thủ hay luôn thiếu an toàn. Cần xác định đại lượng đang xét, sơ đồ gối, các vị trí đặt tải và đường truyền lực trước khi quyết định cách quy đổi.
Từ kết quả lý tưởng đến yêu cầu của công trình
Kết quả 10,55 mm mô tả võng tương đối của dầm so với hai đầu gối không chuyển vị. Nếu cột hoặc móng lún, chuyển vị tuyệt đối còn có thành phần do gối. Nếu hai gối lún khác nhau, đường nối hai gối bị nghiêng; độ dốc tại vị trí thiết bị thay đổi ngay cả khi phần uốn tương đối của dầm giữ nguyên.
Dầm ngắn, sâu hoặc cấu tạo có độ cứng cắt thấp cần xem xét biến dạng cắt. Dầm liên tục cần mô hình điều kiện tương thích giữa các nhịp. Lực dọc đáng kể, mất ổn định, trượt liên kết, biến dạng dẻo và tải động đều có thể làm mô hình tuyến tính đơn giản không còn đủ. Không thể chữa một mô hình thiếu cơ chế bằng cách chỉ tăng số chữ số thập phân của kết quả.
Trước khi đánh giá đạt hay không, cần biết tiêu chí chuyển vị của dự án, trường hợp tải sử dụng để kiểm tra, độ cứng thực của liên kết và yêu cầu từ thiết bị được đỡ. Báo cáo nên nêu chuyển vị ở đâu, theo phương nào, so với mốc nào và trong trạng thái nào. Cách trình bày ấy biến một công thức độ võng thành thông tin có thể phối hợp giữa kết cấu, đường ống và cơ khí.
Nguồn tham khảo
[1] Mechanics and Materials I — Lecture 21: Moment–Curvature Relationship — MIT OpenCourseWare — Carol Livermore. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Mechanics and Materials I — Lecture 22: Beam Deflection — MIT OpenCourseWare — Carol Livermore. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] Engineering Mechanics for Structures — Chapter 10: Deflections Due to Bending — MIT OpenCourseWare — Louis Bucciarelli. Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
