Ngày hoàn thành phải được suy ra từ quan hệ công việc
Một danh sách thời lượng chưa tạo thành tiến độ. Cùng bảy công việc, nếu quan hệ bàn giao khác nhau thì ngày kết thúc có thể khác nhau đáng kể. Phương pháp đường găng giúp tính ảnh hưởng của các quan hệ ấy và xác định nhánh công việc đang khống chế mốc hoàn thành trong một mô hình cụ thể.
Giáo trình xây dựng của Carnegie Mellon University mô tả CPM bằng mạng công việc có thời lượng và quan hệ trước sau xác định; dạng cơ bản không tự giải quyết giới hạn nguồn lực. [1] Bài này xây dựng một mạng minh họa riêng cho chế tạo module. Mọi số liệu là giả định để học cách tính, không phải một tiến độ thi công đã được phê duyệt.
Khai báo mạng và quy ước thời gian
Xét bảy hoạt động, đơn vị thời lượng là ngày làm việc quy ước. Các quan hệ đều là hoàn thành rồi mới bắt đầu, không có khoảng chờ riêng và không có ngày bắt buộc. Thời điểm đầu dự án là 0; công việc dài hai ngày bắt đầu ở 0 sẽ kết thúc ở 2. Cách đếm này tránh trộn phép tính thời lượng với cách đánh số ngày trên lịch.
Tên công việc được rút gọn cho ví dụ. Hồ sơ thực phải quy định điều kiện hoàn tất và đầu vào đủ để bắt đầu bước sau. Nếu E chỉ nhận một phần spool, hoặc F được phép kiểm hồ sơ từng phần, cần mô hình hóa đúng phần bàn giao ấy trước khi đổi quan hệ. Không nên dùng quan hệ chồng lấn chỉ để làm biểu đồ trông ngắn hơn.
Tính tiến: thời điểm sớm
Gọi d là thời lượng, ES là thời điểm bắt đầu sớm và EF là thời điểm kết thúc sớm. Với dạng mạng đang dùng, ES của một việc bằng EF lớn nhất trong các việc ngay trước nó; EF = ES + d. PMI trình bày cách tính tiến và tính lùi theo chính quy ước bắt đầu ở cuối ngày 0 này. [2]
ESᵢ = max(EF của các việc trước); EFᵢ = ESᵢ + dᵢ
A có ES = 0, EF = 2. Cả B và C bắt đầu sớm ở 2; B kết thúc ở 7 còn C kết thúc ở 5. D vì thế đi từ 7 đến 10, G đi từ 5 đến 7. E phải chờ cả hai nhánh, nên ES của E = max(10,7) = 10 và EF = 12. F đi từ 12 đến 13. Kết quả của mô hình là 13 ngày làm việc.
Hai nhánh từ đầu đến cuối có tổng thời lượng khác nhau. Nhánh A, B, D, E, F dài 2 + 5 + 3 + 2 + 1 = 13 ngày. Nhánh A, C, G, E, F dài 10 ngày. Đường găng trong mạng này là nhánh thứ nhất. Không cộng tất cả bảy thời lượng thành 18 ngày rồi dùng làm thời lượng dự án, vì B và C cùng các việc kế tiếp có thể thực hiện song song theo giả thiết ban đầu.
Tính lùi: thời điểm muộn
Chọn mốc kết thúc để tính lùi bằng 13. LF là thời điểm kết thúc muộn; LS là thời điểm bắt đầu muộn. Lấy LF của một việc bằng LS nhỏ nhất trong các việc ngay sau nó, rồi LS = LF − d. [2] Dùng phép lấy nhỏ nhất vì công việc phải hoàn tất đủ sớm cho mọi nhánh tiếp nhận.
LFᵢ = min(LS của các việc sau); LSᵢ = LFᵢ − dᵢ
F có LF = 13 và LS = 12. E có LF = 12, LS = 10. D nhận LF = 10 nên LS = 7; G cũng nhận LF = 10 nhưng LS = 8 vì chỉ dài hai ngày. B có LF = 7, LS = 2. C có LF = 8, LS = 5. Cuối cùng, LF của A = min(2,5) = 2, nên LS = 0.
Kết quả sớm và muộn của A, B, D, E, F trùng nhau. Với C, bắt đầu sớm là 2 và muộn là 5; với G, bắt đầu sớm là 5 và muộn là 8. Các con số này chỉ đúng với mốc hoàn thành, thời lượng và quan hệ đã khai báo. Nếu một đầu vào đổi, cần tính lại mạng thay vì giữ các ô dự trữ cũ.
Dự trữ toàn phần và dự trữ tự do
Trong mô hình đang xét, dự trữ toàn phần TF = LS − ES; dự trữ tự do FF = ES nhỏ nhất của công việc sau − EF. [2] TF liên quan mốc hoàn thành toàn mạng, còn FF liên quan thời điểm sớm của bước ngay sau. Hai đại lượng cùng đơn vị ngày nhưng phục vụ các câu hỏi phối hợp khác nhau.
C có TF = 5 − 2 = 3 ngày, nhưng FF = 5 − 5 = 0 vì G dự kiến bắt đầu ngay khi C hoàn tất. G có TF = 8 − 5 = 3 và FF = 10 − 7 = 3. Nếu C chậm ba ngày, G có thể dịch từ khoảng 5–7 sang 8–10 mà E vẫn bắt đầu ở 10. Tuy vậy, thời điểm bắt đầu của G đã bị tác động.
Không được cộng TF của C và G thành sáu ngày dự trữ độc lập. Nếu C đã chậm ba ngày rồi G tiếp tục chậm thêm ba ngày so với kế hoạch đã dịch, G sẽ kết thúc ở 13, E kết thúc ở 15 và F ở 16. Hai công việc cùng sử dụng khoảng dự trữ của một nhánh. Dự trữ tính được cũng không tự xác định quyền sử dụng theo hợp đồng; vấn đề đó nằm ngoài bài toán số học này.
Rút ngắn công việc nào tạo được thay đổi?
Giữ các dữ liệu khác, giảm thời lượng B từ 5 xuống 3 ngày. Nhánh qua B còn 11 ngày, nhánh qua C vẫn 10, nên dự án còn 11 ngày. Giảm B tiếp xuống 2 ngày làm cả hai nhánh cùng dài 10 ngày. Khi ấy mạng có hai đường găng.
Nếu tiếp tục giảm B xuống 1 ngày, nhánh này còn 9 ngày nhưng nhánh qua C vẫn 10; tổng thời gian vẫn là 10. Khảo sát cho thấy lợi ích của rút ngắn một hoạt động phụ thuộc các nhánh cạnh tranh. Cũng trong mạng gốc, tăng thời lượng C từ 3 lên 8 ngày làm nhánh qua C tăng từ 10 lên 15 ngày, trở thành nhánh khống chế và kéo mốc cuối từ 13 lên 15.
Nguồn lực và dữ liệu cập nhật
Giả sử B và C thực tế phải dùng cùng một bộ máy, mỗi việc chiếm toàn bộ máy trong thời lượng của nó. Kế hoạch bắt đầu đồng thời ở ngày 2 không còn khả thi. Nếu bổ sung thứ tự B trước C, C đi từ 7 đến 10, G từ 10 đến 12, E từ 12 đến 14 và F từ 14 đến 15. Một ràng buộc nguồn lực đã làm kết quả tăng từ 13 lên 15 ngày.
Ví dụ này chỉ đánh giá một thứ tự bổ sung, chưa giải bài toán tối ưu nguồn lực. Hướng dẫn GAO coi tiến độ tích hợp là mô hình để kiểm tra tác động của thay đổi và theo dõi thực hiện. [3] Khi cập nhật, cần giữ ngày dữ liệu, phần đã hoàn thành, thời lượng còn lại, quan hệ thực tế và lịch làm việc nhất quán.
Một bản tiến độ có giá trị khi người đọc biết vì sao hai việc nối với nhau và dữ liệu nào đang điều khiển mốc cuối. Đường găng phản ánh trạng thái mô hình tại thời điểm tính; nó có thể chuyển nhánh khi thời lượng, phạm vi hoặc khả năng bàn giao thay đổi. Vì vậy, kết quả cần đi cùng mạng công việc và giả thiết nguồn lực để người khác kiểm tra lại.
Nguồn tham khảo
[1] Project Management for Construction — Fundamental Scheduling Procedures — Carnegie Mellon University — Chris Hendrickson. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Critical path method calculations — Project Management Institute (PMI). Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] GAO Schedule Assessment Guide: Best Practices for Project Schedules — U.S. Government Accountability Office (GAO). Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
Một danh sách thời lượng chưa tạo thành tiến độ. Cùng bảy công việc, nếu quan hệ bàn giao khác nhau thì ngày kết thúc có thể khác nhau đáng kể. Phương pháp đường găng giúp tính ảnh hưởng của các quan hệ ấy và xác định nhánh công việc đang khống chế mốc hoàn thành trong một mô hình cụ thể.
Giáo trình xây dựng của Carnegie Mellon University mô tả CPM bằng mạng công việc có thời lượng và quan hệ trước sau xác định; dạng cơ bản không tự giải quyết giới hạn nguồn lực. [1] Bài này xây dựng một mạng minh họa riêng cho chế tạo module. Mọi số liệu là giả định để học cách tính, không phải một tiến độ thi công đã được phê duyệt.
Khai báo mạng và quy ước thời gian
Xét bảy hoạt động, đơn vị thời lượng là ngày làm việc quy ước. Các quan hệ đều là hoàn thành rồi mới bắt đầu, không có khoảng chờ riêng và không có ngày bắt buộc. Thời điểm đầu dự án là 0; công việc dài hai ngày bắt đầu ở 0 sẽ kết thúc ở 2. Cách đếm này tránh trộn phép tính thời lượng với cách đánh số ngày trên lịch.
- A — Phát hành hồ sơ chế tạo: 2 ngày; chưa có công việc trước.
- B — Gia công spool: 5 ngày; sau A.
- C — Gia công bệ: 3 ngày; sau A.
- D — Lắp ráp spool: 3 ngày; sau B.
- G — Lắp ráp bệ: 2 ngày; sau C.
- E — Tích hợp module: 2 ngày; sau cả D và G.
- F — Kiểm tra hồ sơ bàn giao: 1 ngày; sau E.
Tên công việc được rút gọn cho ví dụ. Hồ sơ thực phải quy định điều kiện hoàn tất và đầu vào đủ để bắt đầu bước sau. Nếu E chỉ nhận một phần spool, hoặc F được phép kiểm hồ sơ từng phần, cần mô hình hóa đúng phần bàn giao ấy trước khi đổi quan hệ. Không nên dùng quan hệ chồng lấn chỉ để làm biểu đồ trông ngắn hơn.
Tính tiến: thời điểm sớm
Gọi d là thời lượng, ES là thời điểm bắt đầu sớm và EF là thời điểm kết thúc sớm. Với dạng mạng đang dùng, ES của một việc bằng EF lớn nhất trong các việc ngay trước nó; EF = ES + d. PMI trình bày cách tính tiến và tính lùi theo chính quy ước bắt đầu ở cuối ngày 0 này. [2]
ESᵢ = max(EF của các việc trước); EFᵢ = ESᵢ + dᵢ
A có ES = 0, EF = 2. Cả B và C bắt đầu sớm ở 2; B kết thúc ở 7 còn C kết thúc ở 5. D vì thế đi từ 7 đến 10, G đi từ 5 đến 7. E phải chờ cả hai nhánh, nên ES của E = max(10,7) = 10 và EF = 12. F đi từ 12 đến 13. Kết quả của mô hình là 13 ngày làm việc.
Hai nhánh từ đầu đến cuối có tổng thời lượng khác nhau. Nhánh A, B, D, E, F dài 2 + 5 + 3 + 2 + 1 = 13 ngày. Nhánh A, C, G, E, F dài 10 ngày. Đường găng trong mạng này là nhánh thứ nhất. Không cộng tất cả bảy thời lượng thành 18 ngày rồi dùng làm thời lượng dự án, vì B và C cùng các việc kế tiếp có thể thực hiện song song theo giả thiết ban đầu.
Tính lùi: thời điểm muộn
Chọn mốc kết thúc để tính lùi bằng 13. LF là thời điểm kết thúc muộn; LS là thời điểm bắt đầu muộn. Lấy LF của một việc bằng LS nhỏ nhất trong các việc ngay sau nó, rồi LS = LF − d. [2] Dùng phép lấy nhỏ nhất vì công việc phải hoàn tất đủ sớm cho mọi nhánh tiếp nhận.
LFᵢ = min(LS của các việc sau); LSᵢ = LFᵢ − dᵢ
F có LF = 13 và LS = 12. E có LF = 12, LS = 10. D nhận LF = 10 nên LS = 7; G cũng nhận LF = 10 nhưng LS = 8 vì chỉ dài hai ngày. B có LF = 7, LS = 2. C có LF = 8, LS = 5. Cuối cùng, LF của A = min(2,5) = 2, nên LS = 0.
Kết quả sớm và muộn của A, B, D, E, F trùng nhau. Với C, bắt đầu sớm là 2 và muộn là 5; với G, bắt đầu sớm là 5 và muộn là 8. Các con số này chỉ đúng với mốc hoàn thành, thời lượng và quan hệ đã khai báo. Nếu một đầu vào đổi, cần tính lại mạng thay vì giữ các ô dự trữ cũ.
Dự trữ toàn phần và dự trữ tự do
Trong mô hình đang xét, dự trữ toàn phần TF = LS − ES; dự trữ tự do FF = ES nhỏ nhất của công việc sau − EF. [2] TF liên quan mốc hoàn thành toàn mạng, còn FF liên quan thời điểm sớm của bước ngay sau. Hai đại lượng cùng đơn vị ngày nhưng phục vụ các câu hỏi phối hợp khác nhau.
C có TF = 5 − 2 = 3 ngày, nhưng FF = 5 − 5 = 0 vì G dự kiến bắt đầu ngay khi C hoàn tất. G có TF = 8 − 5 = 3 và FF = 10 − 7 = 3. Nếu C chậm ba ngày, G có thể dịch từ khoảng 5–7 sang 8–10 mà E vẫn bắt đầu ở 10. Tuy vậy, thời điểm bắt đầu của G đã bị tác động.
Không được cộng TF của C và G thành sáu ngày dự trữ độc lập. Nếu C đã chậm ba ngày rồi G tiếp tục chậm thêm ba ngày so với kế hoạch đã dịch, G sẽ kết thúc ở 13, E kết thúc ở 15 và F ở 16. Hai công việc cùng sử dụng khoảng dự trữ của một nhánh. Dự trữ tính được cũng không tự xác định quyền sử dụng theo hợp đồng; vấn đề đó nằm ngoài bài toán số học này.
Rút ngắn công việc nào tạo được thay đổi?
Giữ các dữ liệu khác, giảm thời lượng B từ 5 xuống 3 ngày. Nhánh qua B còn 11 ngày, nhánh qua C vẫn 10, nên dự án còn 11 ngày. Giảm B tiếp xuống 2 ngày làm cả hai nhánh cùng dài 10 ngày. Khi ấy mạng có hai đường găng.
Nếu tiếp tục giảm B xuống 1 ngày, nhánh này còn 9 ngày nhưng nhánh qua C vẫn 10; tổng thời gian vẫn là 10. Khảo sát cho thấy lợi ích của rút ngắn một hoạt động phụ thuộc các nhánh cạnh tranh. Cũng trong mạng gốc, tăng thời lượng C từ 3 lên 8 ngày làm nhánh qua C tăng từ 10 lên 15 ngày, trở thành nhánh khống chế và kéo mốc cuối từ 13 lên 15.
Nguồn lực và dữ liệu cập nhật
Giả sử B và C thực tế phải dùng cùng một bộ máy, mỗi việc chiếm toàn bộ máy trong thời lượng của nó. Kế hoạch bắt đầu đồng thời ở ngày 2 không còn khả thi. Nếu bổ sung thứ tự B trước C, C đi từ 7 đến 10, G từ 10 đến 12, E từ 12 đến 14 và F từ 14 đến 15. Một ràng buộc nguồn lực đã làm kết quả tăng từ 13 lên 15 ngày.
Ví dụ này chỉ đánh giá một thứ tự bổ sung, chưa giải bài toán tối ưu nguồn lực. Hướng dẫn GAO coi tiến độ tích hợp là mô hình để kiểm tra tác động của thay đổi và theo dõi thực hiện. [3] Khi cập nhật, cần giữ ngày dữ liệu, phần đã hoàn thành, thời lượng còn lại, quan hệ thực tế và lịch làm việc nhất quán.
Một bản tiến độ có giá trị khi người đọc biết vì sao hai việc nối với nhau và dữ liệu nào đang điều khiển mốc cuối. Đường găng phản ánh trạng thái mô hình tại thời điểm tính; nó có thể chuyển nhánh khi thời lượng, phạm vi hoặc khả năng bàn giao thay đổi. Vì vậy, kết quả cần đi cùng mạng công việc và giả thiết nguồn lực để người khác kiểm tra lại.
Nguồn tham khảo
[1] Project Management for Construction — Fundamental Scheduling Procedures — Carnegie Mellon University — Chris Hendrickson. Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] Critical path method calculations — Project Management Institute (PMI). Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] GAO Schedule Assessment Guide: Best Practices for Project Schedules — U.S. Government Accountability Office (GAO). Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
