Ba con số chỉ hữu ích khi cùng mô tả một phạm vi
Một gói chế tạo thường có thời lượng thuận lợi, thường gặp và bất lợi. Nếu ba con số sử dụng ba phạm vi khác nhau, việc đưa chúng vào công thức không tạo ra một ước lượng có ý nghĩa. Chẳng hạn, phương án thuận lợi đã có vật tư nhưng phương án bất lợi tính thêm mua vật tư sẽ trộn biến động thời lượng với thay đổi ranh giới công việc.
PERT dùng ba ước lượng để xây dựng giá trị trung bình có trọng số và một xấp xỉ độ phân tán. Tài liệu PMI trình bày công thức trung bình với trọng số 1–4–1 cùng xấp xỉ độ lệch chuẩn bằng một phần sáu khoảng hai đầu. [1] Bài này giải thích các phép tính bằng dữ liệu giả định và chỉ rõ những kết luận còn phụ thuộc mô hình xác suất.
Ký hiệu và giả thiết đầu vào
Gọi a là thời lượng thuận lợi, m là thời lượng có khả năng xuất hiện cao nhất và b là thời lượng bất lợi, cùng đơn vị ngày làm việc. Yêu cầu a ≤ m ≤ b. Cả ba cần dựa trên cùng khối lượng, nhân lực, lịch và điều kiện hoàn tất. Nếu xem a, b là hai đầu của một phân bố hữu hạn, đó là giả thiết của mô hình; không tự chứng minh rằng thực tế không thể vượt ra ngoài khoảng này.
Một con số như “bất lợi 14 ngày” cần được giải thích bằng các tình huống cụ thể: thêm lượt hiệu chỉnh, chậm bàn giao hay giảm năng suất. Không nên vừa đưa một rủi ro vào b, vừa cộng toàn bộ tác động của nó lần nữa thành dự phòng mà không kiểm tra nguy cơ tính trùng. Các giả thiết loại trừ cũng cần lưu để người đọc biết phần bất định nào chưa được mô hình hóa.
Công thức PERT thường dùng
μ = (a + 4m + b)/6
s ≈ (b − a)/6; v ≈ [(b − a)/6]²
μ và s có đơn vị ngày; v có đơn vị ngày bình phương. μ là trung bình ước tính trong phương pháp, không phải m và cũng không nhất thiết là trung vị. Dấu xấp xỉ ở độ lệch chuẩn rất quan trọng: bộ ba a, m, b không tự xác định duy nhất mọi phân bố xác suất. Hai mô hình có cùng ba trị số có thể có phương sai khác nhau.
Để kiểm tra đơn vị, nếu chuyển toàn bộ đầu vào từ ngày sang giờ bằng cùng một hệ số k, μ và s phải nhân k, còn v phải nhân k². Nếu bảng tính chỉ nhân phương sai với k, độ phân tán tổng hợp ở bước sau sẽ sai dù cột trung bình vẫn có vẻ đúng.
Ví dụ và độ nhạy của từng ước lượng
Giả định một gói căn chỉnh có a = 4, m = 6 và b = 14 ngày. Khi đó μ = (4 + 24 + 14)/6 = 7 ngày, s ≈ 10/6 = 1,6667 ngày và v ≈ 2,7778 ngày². Giá trị 7 dài hơn m vì phía bất lợi kéo xa hơn phía thuận lợi trong bộ số liệu đã chọn.
Giữ a và m, tăng b từ 14 lên 20. Trung bình tăng một ngày, lên 8; s tăng lên 2,6667 ngày. Phương sai tăng từ 2,7778 lên 7,1111 ngày², tức gấp 2,56 lần. Chỉ nhìn trung bình sẽ che phần thay đổi lớn hơn của độ phân tán.
Nếu giữ a = 4 và b = 14 nhưng tăng m từ 6 lên 7, μ tăng thêm 4/6 ngày, thành khoảng 7,6667. Trong công thức xấp xỉ đang dùng, s không đổi vì chỉ phụ thuộc a và b. Điều này giúp thấy giới hạn của công thức: thay đổi hình dạng phần giữa của phân bố chưa được phản ánh trong ước lượng phương sai ấy.
Đối chiếu với một phân bố beta được khai báo cụ thể
Tài liệu SciPy mô tả phân bố beta chuẩn trên khoảng 0 đến 1 với hai tham số hình dạng dương, đồng thời cho phép dịch và đổi tỷ lệ khoảng. [2] Ta có thể dựng một mô hình riêng T = a + (b−a)X, trong đó X theo beta(α,β). Để minh họa, chọn α = 1 + 4(m−a)/(b−a), β = 1 + 4(b−m)/(b−a), với a < m < b.
Đây là một lựa chọn tham số hóa cụ thể. α + β = 6; vị trí có mật độ cao nhất của T là m và trung bình bằng công thức μ ở trên. Tuy nhiên, phương sai của chính phân bố đã chọn là:
Var(T) = (b−a)² × αβ / [(α+β)²(α+β+1)]
Với a = 4, m = 6, b = 14, ta được α = 1,8 và β = 4,2. Phương sai bằng 100 × 1,8 × 4,2/(36 × 7) = 3 ngày²; độ lệch chuẩn khoảng 1,7321 ngày. Giá trị này khác 1,6667 của xấp xỉ PERT, dù trung bình vẫn đúng 7 ngày. Vì vậy, không nên ghép phương sai xấp xỉ của một cách tính với tên phân bố cụ thể rồi coi chúng luôn đồng nhất.
Nếu dùng phần mềm mô phỏng, phải lưu cả loại phân bố lẫn tham số, thay vì chỉ ghi “đã chạy PERT”. Trường hợp a = b là thời lượng cố định, không đưa trực tiếp vào các biểu thức có mẫu số b−a. Khi m trùng một đầu khoảng, cũng cần xem lại cách diễn giải mode ở biên trước khi sử dụng một công thức dành cho mode nằm bên trong.
Cộng hai công việc nối tiếp
Trở lại xấp xỉ PERT ban đầu cho công việc A: μA = 7 và sA = 5/3 ngày. Giả định công việc B nối tiếp có a = 2, m = 3, b = 8, nên μB = 11/3 ngày và sB = 1 ngày. Trung bình của tổng là μA + μB = 32/3, khoảng 10,6667 ngày. Tính chất cộng trung bình không yêu cầu hai thời lượng độc lập.
Nếu hai thời lượng độc lập, phương sai tổng bằng vA + vB = 25/9 + 1 = 34/9 ngày²; độ lệch chuẩn bằng √34/3, khoảng 1,9437 ngày. Cộng trực tiếp 1,6667 với 1 rồi gọi là độ lệch chuẩn của tổng độc lập là sai. Phải cộng phương sai trước khi lấy căn.
Tương quan làm thay đổi độ phân tán
GAO lưu ý các công việc chịu cùng một tác động có thể cùng dài hoặc cùng ngắn trong một kịch bản; tương quan cần được xét trong phân tích rủi ro tiến độ. [3] Với hai biến, công thức tổng quát là Var(A+B) = vA + vB + 2ρsAsB, trong đó ρ là hệ số tương quan, không có đơn vị.
Nếu đặt ρ = 0,50 cho ví dụ, phương sai thành 34/9 + 2 × 0,50 × 5/3 × 1 = 49/9 ngày²; độ lệch chuẩn là 7/3, khoảng 2,3333 ngày. Trung bình vẫn 10,6667 nhưng độ phân tán lớn hơn trường hợp độc lập. Hệ số 0,50 chỉ là giả định khảo sát, không phải giá trị khuyến nghị cho mọi dự án có chung đội thi công.
Mạng có nhánh song song cần phép tính khác
Trong một mạng tiến độ, thời gian chờ hai nhánh hoàn thành là giá trị lớn hơn của hai thời lượng, không phải tổng. Xét một ví dụ rời rạc riêng: mỗi nhánh độc lập có thời lượng 8 hoặc 12 ngày, mỗi khả năng xác suất 1/2. Trung bình từng nhánh là 10 ngày. Cả hai cùng kết thúc ở 8 chỉ xảy ra với xác suất 1/4; ba trường hợp còn lại phải chờ đến 12.
Vì vậy, trung bình thời gian hoàn tất cả hai là 8 × 1/4 + 12 × 3/4 = 11 ngày, lớn hơn giá trị 10 thu được khi chỉ lấy nhánh dài nhất từ hai trung bình. Phép tính nhỏ này cho thấy tại sao thay tất cả hoạt động bằng thời lượng trung bình rồi chạy CPM chưa tự cho trung bình thời lượng dự án có nhiều nhánh.
Giới hạn diễn giải
Một kết quả μ ± 2s không tự động là khoảng chứa 95% thời lượng. Muốn nêu xác suất hoàn thành trước một ngày cụ thể, cần phân bố phù hợp và cách xử lý quan hệ giữa các việc. Số ước tính nên đi cùng phạm vi, ba kịch bản, giả thiết xác suất, tương quan và ngày dữ liệu. Nhờ vậy, lần cập nhật sau có thể giải thích nguyên nhân thay đổi thay vì chỉ thay một mốc cuối trên biểu đồ.
Nguồn tham khảo
[1] Leveraging the New Practice Standard for Project Estimating — Project Management Institute (PMI). Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] scipy.stats.beta — Beta continuous random variable — SciPy developers. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] GAO-16-89G — Schedule Assessment Guide, Best Practice 8 — U.S. Government Accountability Office (GAO). Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
Một gói chế tạo thường có thời lượng thuận lợi, thường gặp và bất lợi. Nếu ba con số sử dụng ba phạm vi khác nhau, việc đưa chúng vào công thức không tạo ra một ước lượng có ý nghĩa. Chẳng hạn, phương án thuận lợi đã có vật tư nhưng phương án bất lợi tính thêm mua vật tư sẽ trộn biến động thời lượng với thay đổi ranh giới công việc.
PERT dùng ba ước lượng để xây dựng giá trị trung bình có trọng số và một xấp xỉ độ phân tán. Tài liệu PMI trình bày công thức trung bình với trọng số 1–4–1 cùng xấp xỉ độ lệch chuẩn bằng một phần sáu khoảng hai đầu. [1] Bài này giải thích các phép tính bằng dữ liệu giả định và chỉ rõ những kết luận còn phụ thuộc mô hình xác suất.
Ký hiệu và giả thiết đầu vào
Gọi a là thời lượng thuận lợi, m là thời lượng có khả năng xuất hiện cao nhất và b là thời lượng bất lợi, cùng đơn vị ngày làm việc. Yêu cầu a ≤ m ≤ b. Cả ba cần dựa trên cùng khối lượng, nhân lực, lịch và điều kiện hoàn tất. Nếu xem a, b là hai đầu của một phân bố hữu hạn, đó là giả thiết của mô hình; không tự chứng minh rằng thực tế không thể vượt ra ngoài khoảng này.
Một con số như “bất lợi 14 ngày” cần được giải thích bằng các tình huống cụ thể: thêm lượt hiệu chỉnh, chậm bàn giao hay giảm năng suất. Không nên vừa đưa một rủi ro vào b, vừa cộng toàn bộ tác động của nó lần nữa thành dự phòng mà không kiểm tra nguy cơ tính trùng. Các giả thiết loại trừ cũng cần lưu để người đọc biết phần bất định nào chưa được mô hình hóa.
Công thức PERT thường dùng
μ = (a + 4m + b)/6
s ≈ (b − a)/6; v ≈ [(b − a)/6]²
μ và s có đơn vị ngày; v có đơn vị ngày bình phương. μ là trung bình ước tính trong phương pháp, không phải m và cũng không nhất thiết là trung vị. Dấu xấp xỉ ở độ lệch chuẩn rất quan trọng: bộ ba a, m, b không tự xác định duy nhất mọi phân bố xác suất. Hai mô hình có cùng ba trị số có thể có phương sai khác nhau.
Để kiểm tra đơn vị, nếu chuyển toàn bộ đầu vào từ ngày sang giờ bằng cùng một hệ số k, μ và s phải nhân k, còn v phải nhân k². Nếu bảng tính chỉ nhân phương sai với k, độ phân tán tổng hợp ở bước sau sẽ sai dù cột trung bình vẫn có vẻ đúng.
Ví dụ và độ nhạy của từng ước lượng
Giả định một gói căn chỉnh có a = 4, m = 6 và b = 14 ngày. Khi đó μ = (4 + 24 + 14)/6 = 7 ngày, s ≈ 10/6 = 1,6667 ngày và v ≈ 2,7778 ngày². Giá trị 7 dài hơn m vì phía bất lợi kéo xa hơn phía thuận lợi trong bộ số liệu đã chọn.
Giữ a và m, tăng b từ 14 lên 20. Trung bình tăng một ngày, lên 8; s tăng lên 2,6667 ngày. Phương sai tăng từ 2,7778 lên 7,1111 ngày², tức gấp 2,56 lần. Chỉ nhìn trung bình sẽ che phần thay đổi lớn hơn của độ phân tán.
Nếu giữ a = 4 và b = 14 nhưng tăng m từ 6 lên 7, μ tăng thêm 4/6 ngày, thành khoảng 7,6667. Trong công thức xấp xỉ đang dùng, s không đổi vì chỉ phụ thuộc a và b. Điều này giúp thấy giới hạn của công thức: thay đổi hình dạng phần giữa của phân bố chưa được phản ánh trong ước lượng phương sai ấy.
Đối chiếu với một phân bố beta được khai báo cụ thể
Tài liệu SciPy mô tả phân bố beta chuẩn trên khoảng 0 đến 1 với hai tham số hình dạng dương, đồng thời cho phép dịch và đổi tỷ lệ khoảng. [2] Ta có thể dựng một mô hình riêng T = a + (b−a)X, trong đó X theo beta(α,β). Để minh họa, chọn α = 1 + 4(m−a)/(b−a), β = 1 + 4(b−m)/(b−a), với a < m < b.
Đây là một lựa chọn tham số hóa cụ thể. α + β = 6; vị trí có mật độ cao nhất của T là m và trung bình bằng công thức μ ở trên. Tuy nhiên, phương sai của chính phân bố đã chọn là:
Var(T) = (b−a)² × αβ / [(α+β)²(α+β+1)]
Với a = 4, m = 6, b = 14, ta được α = 1,8 và β = 4,2. Phương sai bằng 100 × 1,8 × 4,2/(36 × 7) = 3 ngày²; độ lệch chuẩn khoảng 1,7321 ngày. Giá trị này khác 1,6667 của xấp xỉ PERT, dù trung bình vẫn đúng 7 ngày. Vì vậy, không nên ghép phương sai xấp xỉ của một cách tính với tên phân bố cụ thể rồi coi chúng luôn đồng nhất.
Nếu dùng phần mềm mô phỏng, phải lưu cả loại phân bố lẫn tham số, thay vì chỉ ghi “đã chạy PERT”. Trường hợp a = b là thời lượng cố định, không đưa trực tiếp vào các biểu thức có mẫu số b−a. Khi m trùng một đầu khoảng, cũng cần xem lại cách diễn giải mode ở biên trước khi sử dụng một công thức dành cho mode nằm bên trong.
Cộng hai công việc nối tiếp
Trở lại xấp xỉ PERT ban đầu cho công việc A: μA = 7 và sA = 5/3 ngày. Giả định công việc B nối tiếp có a = 2, m = 3, b = 8, nên μB = 11/3 ngày và sB = 1 ngày. Trung bình của tổng là μA + μB = 32/3, khoảng 10,6667 ngày. Tính chất cộng trung bình không yêu cầu hai thời lượng độc lập.
Nếu hai thời lượng độc lập, phương sai tổng bằng vA + vB = 25/9 + 1 = 34/9 ngày²; độ lệch chuẩn bằng √34/3, khoảng 1,9437 ngày. Cộng trực tiếp 1,6667 với 1 rồi gọi là độ lệch chuẩn của tổng độc lập là sai. Phải cộng phương sai trước khi lấy căn.
Tương quan làm thay đổi độ phân tán
GAO lưu ý các công việc chịu cùng một tác động có thể cùng dài hoặc cùng ngắn trong một kịch bản; tương quan cần được xét trong phân tích rủi ro tiến độ. [3] Với hai biến, công thức tổng quát là Var(A+B) = vA + vB + 2ρsAsB, trong đó ρ là hệ số tương quan, không có đơn vị.
Nếu đặt ρ = 0,50 cho ví dụ, phương sai thành 34/9 + 2 × 0,50 × 5/3 × 1 = 49/9 ngày²; độ lệch chuẩn là 7/3, khoảng 2,3333 ngày. Trung bình vẫn 10,6667 nhưng độ phân tán lớn hơn trường hợp độc lập. Hệ số 0,50 chỉ là giả định khảo sát, không phải giá trị khuyến nghị cho mọi dự án có chung đội thi công.
Mạng có nhánh song song cần phép tính khác
Trong một mạng tiến độ, thời gian chờ hai nhánh hoàn thành là giá trị lớn hơn của hai thời lượng, không phải tổng. Xét một ví dụ rời rạc riêng: mỗi nhánh độc lập có thời lượng 8 hoặc 12 ngày, mỗi khả năng xác suất 1/2. Trung bình từng nhánh là 10 ngày. Cả hai cùng kết thúc ở 8 chỉ xảy ra với xác suất 1/4; ba trường hợp còn lại phải chờ đến 12.
Vì vậy, trung bình thời gian hoàn tất cả hai là 8 × 1/4 + 12 × 3/4 = 11 ngày, lớn hơn giá trị 10 thu được khi chỉ lấy nhánh dài nhất từ hai trung bình. Phép tính nhỏ này cho thấy tại sao thay tất cả hoạt động bằng thời lượng trung bình rồi chạy CPM chưa tự cho trung bình thời lượng dự án có nhiều nhánh.
Giới hạn diễn giải
Một kết quả μ ± 2s không tự động là khoảng chứa 95% thời lượng. Muốn nêu xác suất hoàn thành trước một ngày cụ thể, cần phân bố phù hợp và cách xử lý quan hệ giữa các việc. Số ước tính nên đi cùng phạm vi, ba kịch bản, giả thiết xác suất, tương quan và ngày dữ liệu. Nhờ vậy, lần cập nhật sau có thể giải thích nguyên nhân thay đổi thay vì chỉ thay một mốc cuối trên biểu đồ.
Nguồn tham khảo
[1] Leveraging the New Practice Standard for Project Estimating — Project Management Institute (PMI). Truy cập ngày 09/11/2026.
[2] scipy.stats.beta — Beta continuous random variable — SciPy developers. Truy cập ngày 09/11/2026.
[3] GAO-16-89G — Schedule Assessment Guide, Best Practice 8 — U.S. Government Accountability Office (GAO). Truy cập ngày 09/11/2026.
Rà soát nội dung: 09/11/2026.
